Exercice de maths assez complexe

[jca92]

Pouvez-vous m´aider pour cet exercice SVP ?
J´ai réussit à faire le 1. que j´ai justifier avec une propriété du cours mais pour les autres questions, je ne sais quelle méthode où quelle propriété appliquer.

On considère trois points ABC reliés par du fil (de fer) d´épaisseur négligeable.(Et "l´intérieur" du triangle ABC est vide)
Le but est déterminer la position du centre de gravité S du système.
On note I,J et K les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
On note aussi a = BC, b = AC et c = AB.
Chaque tige ayant une masse proportionnelle à sa longueur, on admet que :
S = bar (I, a) (J, b) (K, c)
1. Démontrer que : IS(vecteur) =b/(a+b+c)*IJ(vecteur)+c/(a+b+c)*IK(vecteur)
2. On pose u(vecteur) = b/(a+b+c)*IJ(vecteur) et v(vecteur) = c/(a+b+c)*IK(vecteur). Démontrer que : || u || = || v ||.
3. En déduire que S est situé sur la bissectrice issue de I dans le triangle IJK.
4. Démontrer que S est le centre du cercle G inscrit dans le triangle IJK.

[jca92]

alors qu'en pensez vous ???

[jca92]

svp je suis vraiment bloqué.
Merci :help:

[jca92]

Quelqu'un pour m'aider please ???

[armor92]

Bonjour jca92,

Le centre de gravité de la tige AB est le point K (milieu de AB).
La tige AB a un poids proportionnel à c.
Le centre de gravité de la tige AC est le point J (milieu de AC)
La tige AC a un poids proportionnel à b.
Le centre de gravité de la tige BC est le point I (milieu de BC)
La tige BC a un poids proportionnel à a.

Le centre de gravité du triangle S (ensemble des trois tiges), est le centre de gravité des points I, J, K affecté des poids respectifs a, b, c.

On peut donc écrire :
(a+b+c) * IS(Vecteur) = a * II(Vexteur) + b * IJ(Vecteur) + c * IK(Vecteur)

II(Vecteur) est le vecteur nul.
IS(Vecteur) = b / (a + b + c) * IJ(Vecteur) + c / (a + b + c) * IK(Vecteur)

[armor92]

Pour la question 2)

On doit montrer que || u || = || v ||

C'est à dire :
|| b / ( a + b + c ) * IJ(Vecteur) || = || c / ( a + b + c ) * IK(Vecteur) ||
ou encore :
b / ( a + b + c ) * || IJ(Vecteur) || = c / ( a + b + c ) * || IK(Vecteur) ||
ou encore :
|| IJ(Vecteur) || / c= || IK(Vecteur) || / b

Pour cela on va démontrer que le triangle IJK est semblable au triangle ABC à un rapport 1/2 près, c'est à dire que les longueurs de ces cotés sont de moitié celles du triangle ABC.

I est le milieu de BC et J est le milieu de AC.
On utilise le théorème de THALES, on a donc IJ parallele à AB et
distance(IJ) = distance(AB) / 2 = c / 2

I est le milieu de BC et K est le milieu de AC.
Toujours théorème de THALES, on a donc IK parallele à AC et
distance(IK) = distance(AC) / 2 = b / 2

|| IJ(Vecteur) || = distance(IJ)
|| IK(Vecteur) || = distance(IK)

On a donc démontré que :
|| IJ(Vecteur) || / c= || IK(Vecteur) || / b

[armor92]

Pour la question 3)

On a démontré dans le 2) que :
vecteur(IS) = vecteur(u) + vecteur(v).
Soit le point U défini par vecteur(u) = vecteur(IU) et le point V défini par vecteur(v) = vecteur(IV).

On a la relation : vecteur(IS) = vecteur(IU) + vecteur(IV).
IUSV est donc un parallélogramme.

Distance(IU) = Distance(IV), donc IUSV est un losange. IS est la diagonale du losange. D'aprés les propriétés du losange :
angle(UIS) = angle(SIV)

Hors I, J et U sont alignés et de même I, K et V sont alignés, donc angle(UIS) = angle(JIS) et angle(SIV) = angle(SIK)

On a donc angle(JIS) = angle(SIK)
La droite IS coupe donc l'angle (JIK) en deux angles égaux.
On a donc démontré que S est situé sur la bissectrice issue de I dans le triangle IJK.

[armor92]

Pour la question 4)

On a démontré dans la question 3) que S est sur la bissectrice de l'angle JIK.

On peut faire le même raisonnement que dans les question2) et 3) en partant du point J, c'est dire montrer que :
JS(vecteur) =a/(a+b+c)*JI(vecteur)+c/(a+b+c)*JK(vecteur)
et montrer que S est sur la bissectrice de l'angle(IJK)

De même en partant du point K, on aurait pu montrer que :
KS(vecteur) =a/(a+b+c)*KI(vecteur)+b/(a+b+c)*KJ(vecteur)
et montrer que S est sur la bissectrice de l'angle(JKI)

Le point S est donc le point de concours des trois bissectricle du triangle IJK, c'est a dire que S est le centre du cercle G inscrit dans le triangle IJK