Exercice math olympiade

[simo_yassine]

on a

prouver que


:id:

[Ericovitchi]

Moi j'essayerai par récurrence. C'est vrai pour n=1, suppose la relation vraie pour n et montre que c'est encore vrai pour n+1.
l'astuce sera d'écrire que

Et puis aussi que 4 cos(na) cos (a) - 2 cos((n-1)a) = 2cos((n+1)a) et on arrive au bout

[hammana]

Moi j'essayerai par récurrence. C'est vrai pour n=1, suppose la relation vraie pour n et montre que c'est encore vrai pour n+1.
l'astuce sera d'écrire que

Et puis aussi que 4 cos(na) cos (a) - 2 cos((n-1)a) = 2cos((n+1)a) et on arrive au bout

C'est curieux.
Il me semble que dans le domaine réel, la relation x+1/x=2cos(a) implique
x=0, a=0 ou x=-1, a=pi

[Ericovitchi]

C'est curieux.
Il me semble que dans le domaine réel, la relation x+1/x=2cos(a) implique
x=0, a=0 ou x=-1, a=pi

ha bon ? pourquoi dis-tu ça ?
x=0 avec un 1/x, ça m’étonnerait

[hammana]

ha bon ? pourquoi dis-tu ça ?
x=0 avec un 1/x, ça m’étonnerait

si x=0, 1/x est infini !
la fonction x+1/x passe par un minimum=2 pour x=1, ou bien il y a quelque chose qui m'échappe

[hammana]

ha bon ? pourquoi dis-tu ça ?
x=0 avec un 1/x, ça m’étonnerait

mes excuses. Je voulais écrire x=1, a=0 ou x=-1, a=pi

[Ericovitchi]

mes excuses. Je voulais écrire x=1, a=0 ou x=-1, a=pi

Oui effectivement, en y réfléchissant, tu as raison, x+1/x est toujours supérieur à 2 (ou inférieur à -2) donc (x+1/x)/2 est supérieur ou égal à 1 (ou inférieur à -1) . Il ne peut valoir un cosinus que s'il vaut 1 ou -1 donc on a forcement cos a= 1 ou -1 donc a=0 ou pi et on en déduis x.

Ça hôte un peu d'intérêt à l'exercice. On peut donc directement démontrer la relation avec le n.
Cela dit, la démonstration par récurrence est valable quand même je pense.

[hammana]

Oui effectivement, en y réfléchissant, tu as raison, x+1/x est toujours supérieur à 2 (ou inférieur à -2) donc (x+1/x)/2 est supérieur ou égal à 1 (ou inférieur à -1) . Il ne peut valoir un cosinus que s'il vaut 1 ou -1 donc on a forcement cos a= 1 ou -1 donc a=0 ou pi et on en déduis x.

Ça hôte un peu d'intérêt à l'exercice. On peut donc directement démontrer la relation avec le n.
Cela dit, la démonstration par récurrence est valable quand même je pense.

Le problème à l'origine devait supposer que x est un nombre complexe, en se restreignant au domaine réel il devient banal.
Ta démonstration est valable, mais il serait plus simple de rester dans le domaine complexe.
Si
ce qui implique (r-1/r)=0 donc r=1. En appliquant la formule de Moivre:

d'où

Il est plus difficile de faire simple que de faire compliqué (Steve Jobs)

[Ericovitchi]

oui effectivement, c'est plus naturel comme ça.