Exercice inversion de matrices et graphes probabilistes

[louis2306]

Bonjour j'aurais besoin de votre aide concernant un exercice que je dois rendre. Voici l'énoncé :

En voyage organisé, les touristes vont à la plage tous les jours. Pour leirs déplacements, ils ont le choix entre deux moyens de transport: un minibus ou des vélos électriques. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80% des touristes choisissent le minibus. On considère qu'ensuite chaque jour 30% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent le vélo électrique et 15 % des vacanciers qui avait emprunté le vélo électrique la veille choisissent le minibus.
N étant un entier naturel non nul, on note :
-an la proportion des vacanciers choisissant minibus le n ième jour
-bn la proportion des vacanciers choisissant le vélo électrique le n ième jour
-pn=(an bn) la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le n ième jour.

J'avais une partie A où je devais réaliser le graphe, la matrice associée...etc puis j'ai une partie B où je dois :
6) on considère la suite (un) définie pour tout entier n non nul par un=an-1/3
a- montrer que (un) est une suite géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
b-exprimer (un) en fonction de n. En déduire que an=7/15 × 0.55^n-1 +1/3
c- déterminer lim an. En déduire lim bn puis donner la matrice P de l'état stable vers laquelle converge la suite (Pn).

Voilà c'est donc la question 6c) qui me pose problème je ne sais pas quoi faire après avoir réalisé la limite de an, si quelqu'un pourrait m'aider ça me serai utile.
Merci d'avance.

[pascal16]

Il n'y a aucune difficulté, c'est la formulation qui est un peu lourde :
an=7/15 × 0.55^n-1 +1/3

pour 0.55^n-1 comme 0.55 est entre 0 et 1, la limite est nulle

tu trouves alors que an tend vers 1/3

or bn=1-an, tend donc ver 1-1/3 = 2/3

la matrice (ou vecteur) probabiliste limite est donc P(1/3 2/3)

[louis2306]

Ah ok merci en effet ce n'était pas compliqué, merci pour votre aide.