Exercice intégrales

[Costorm]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour le début d'un exercice sur les intégrales.

Soit la fonction notée fn pour n appartenant à N* par :
R+ -> R
x -> fn (x) = ( (lnx)^n ) / x

1) En posant u = x^(1/n) exprimer fn (x) en fonction de u et en déduire la limite quand x tend vers + infini de fn(x)

2) Etablir les tableaux de variations de fn pour n pair et n impair


Je suis bloqué dès ces deux premières questions, je ne vois pas comment faire pour intégrer la variable u dans la fonction et pour les variations, je ne sais comment généraliser pour les impairs et les pairs.

Pouvez-vous m'aider ? Merci !

[Ericovitchi]

Ou est-ce que l'on parle d'intégrale dans ton énoncé ?

sinon si u = x^(1/n) alors x=u^n

[Costorm]

Merci !

Oui, il n'y a pas d'intégrales en effet, c'est le début de l'exercice mais les intégrales viennent par la suite...

Donc pour le 1) je trouve fn(x) = (ln (u^n) )^n/ u^n
Donc la limite = +infini

Pour le 2 je cherche la dérivée (fn(x) )'

Je trouve ( (ln x)^(n-1) * (n-lnx) )/ x²
Est-ce correct ? Si oui, comment en déduire les variations ?

Merci d'avance

[Ericovitchi]

oui la dérivé est correcte.
Après il faut étudier le signe suivant les cas n pair ou impair

[Costorm]

Merci beaucoup.

Je vois que quand n est paire (ln (x) )^(n-1) négative sur [0;1], néanmoins je ne vois pas par quel moyen le prouver, auriez-vous une idée à me donner ?

Encore merci, très bonne après-midi !

[Ericovitchi]

effectivement, tu sais que le log est négatif entre 0 et 1, donc quand on l'élève à une puissance impaire, il le reste

[xyz1975]

La limite demandée vaut zéro et pas +00.

[Teacher]

Tu connais la limite en l'infini de avec n naturel ?

[xyz1975]

Tu connais la limite en l'infini de avec n naturel ?

Quel lien avec ce que j'ai mis?

[xyz1975]

n étant fixé, x tend vers +00 ssi u tend vers +00, or (lnX)/X tend vers 0 lorsque X tend vers +00.

[Teacher]

Tu as toi même trouver le lien :id: