Exercice de géométrie

[M3mzelle]

Bonjour à tous !
J'ai besoin de votre aide sur cet exo de géométrie (j'avoue que je suis assez pressée !)...

ABCD est un parallélogramme de centre O.

Soit E le milieu de [AB]. La droite (DE) coupe (AC) en F et (BC) en G.

1) Que représente F pour le triangle ADB ?
2) En déduire que FD = 2 FE
3) Démontrer l'égalité FDau carré = FE x FG

J'ai utilisé les médianes et résolu les deux premières questions. Je bloque sur la dernière...
Pouvez-vous me propser vos solutions ?
Merci !

[Zebulon]

Bonsoir,
pour la 3, je te suggère de considérer la parallèle à (CD) passant par F. Soit H le point d'intersection de cette droite avec la droite (BC).
Il va falloir jouer "triple-Thalès" dans le triangle GCD : :we:
avec les droites parallèles (CD) et (FH)
avec les droites parallèles (BE) et (FH)
avec les droites parallèles (CD) et (BE).
Je n'ai pas fait les calculs mais on doit pouvoir s'en tirer.
Tout ça pour montrer que FG=2FD.

[M3mzelle]

F centre de gravité du triangle ABD donc F situé au deux tiers de la médiane DE à partir du sommet D.
Donc FD=(2/3)DE
ABCD parallèlogramme donc EB parallèle à DC.
ABCD parallèlogramme donc AB = DC
Donc AE = EB = 1/2 AB = 1/2 DC.
Les droites DG et CG sont sécantes en G et puisque EB est parallèle à DC alors EB /DC = EG / DG = BG / CG = 1/ 2.
Donc E est milieu de DG.
Donc DE = EG
D’où FD=(2/3)EG
EG = FG-FE puisque les points F, E, et G sont alignés dans ce même ordre.
Donc FD=(2/3)(FG-FE)
FD=2FE
Donc FD = (2/3)(FG-FD/2)
(4/3)FD=(2/3)FG
FD=(1/2)FG
Il faut maintenant trouver FD u carré !
C'est un début...Mais je bloque !

[Zebulon]

Je n'ai pas tout lu, mais ça a l'air bon. :we:
Tu as fait le plus gros.
Maintenant, il suffit de remarquer que et (je te laisse le justifier) et d'utiliser que et .

[Zebulon]

F centre de gravité du triangle ABD donc F situé au deux tiers de la médiane DE à partir du sommet D.
Donc FD=(2/3)DE
ABCD parallèlogramme donc EB parallèle à DC.
ABCD parallèlogramme donc AB = DC
Donc AE = EB = 1/2 AB = 1/2 DC.
Les droites DG et CG sont sécantes en G et puisque EB est parallèle à DC alors EB /DC = EG / DG = BG / CG = 1/ 2.
Donc E est milieu de DG.
Donc DE = EG
D’où FD=(2/3)EG
EG = FG-FE puisque les points F, E, et G sont alignés dans ce même ordre.
Donc FD=(2/3)(FG-FE)
FD=2FE
Donc FD = (2/3)(FG-FD/2)
(4/3)FD=(2/3)FG
FD=(1/2)FG
Il faut maintenant trouver FD u carré !
C'est un début...Mais je bloque !

C'est parfait ! :we:

[M3mzelle]

On sait que E est le milieu de AB donc AE = EB = 1/2 AB
On sait aussi que ABCD est un parallèlogramme donc AB = DC
Donc AE = EB = 1/2 AB = 1/2 DC.
Les droites (DG) et (CG) sont sécantes en G. ABCD est un parallèlogramme donc (EB) est parallèle à (DC). D’après le théorème de Thalès :
EB /DC = EG / DG = BG / CG = 1/ 2.
Donc E est milieu de DG.
Donc DE = EG

On sait que FD = 2FE d'où DE = 3 FE

Or FG = FE + EG (car les points F, E et G sont alignés dans ce même ordre)
= FE + DE
= FE + 3FE
= 4FE

Donc FDau carré = (2FE)au carré
=4FE au carré
= FE*4FE
= FE*FG (cqfd)

Peut ê plus simple :we:
Voilà, voilà,
Merci beaucoup et à bientôt !

[Zebulon]

Du moment qu'on trouve seul, c'est la méthode la plus simple !
C'est très bien !