Exercice de géométrie 2nd

[cleyz]

Bonjour tout le monde je suis nouveau sur le forum et j'ai 5 exercice de devoir maison à faire pour la rentré. J'en ai fait trois mais il y en a deux où j'ai quelques difficultés dont celui là.

Il y a une figure qui accompagne je sais pas comment la faire là donc si vous ne comprenez pas je peux vous l'envoyé sous paint par email. Je vous propose également les recherches que j'ai déjà faites. L'information qu'il me manque en particulier est comment calculer l'aire de C2 parce que avec
[r² * pi ] /4 ca marche pas.



ABCD est un carré de centre O et de côté a.
C1 est le demi-cercle de centre D et de diamètre [AE].
C2 est le quart de cercle de centre C passant par A et E et intérieur à C1

Démontrer que l'aire du "croissant" est égale à l'aire du carré ABCD.

J'ai compris que pour trouver l'aire du croissant il fallait soustraire l'aire de C2 à l'aire de C1 et que cela devra être égale à a².
J'ai trouvé que AC est le rayon de C2.
J'ai trouvé avec pythagore que AC = a * racine² de 2
J'ai également trouvé que l'aire de C1 est égale à (pi * a²)/2 et je suis pas du tout sur que l'aire de C2 sois égale à (pi * r²)/4
Mais quand je remplace a par un nombre comme 4, la soustraction de l'aire de C1 par l'aire de C2 fait 0.

disont que a = 4
Aire C1 = 8 * pi
Aire C2 = (pi * r²)/ 4 donc = [(4 * racine² de 2)² * pi ]/4 et cela me donne également 8 * pi .....


Voilà j'espère que j'ai été assez explicite et je pense que mes erreurs viennent de l'aire de C2 qui n'est surement pas égale à (r² * pi)/4.
Je vous remercie de bien vouloir m'aider si vous avez réussi l'exercice et je suis désoler d'avoir écrit les signes mathématiques comme racine en lettre mais je savais pas où sont les caractère mathématiques spécifiques. Si vous voulez la figure donnez moi votre email et je vous l'enverrai.

Merci de vos réponses.

[Quidam]

Pour ce qui concerne les images, va voir Comment insérer une image dans le forum ?

L'aire du croissant est égale à la différence entre l'aire du demi-disque limité par C1 et par EA, et l'aire de la portion de disque limité par C2 et par EA. Le quart de cercle limité par l'arc de cercle C2 et par les segments CE et CA a effectivement pour aire mais cette surface inclut le triangle EAC. Si tu veux calculer l'aire uniquement de la portion du cercle C2 limitée par EA, tu dois calculer

Ensuite, c'est facile !

[cleyz]

Merci beaucoup Quidam.

mais au lieu de mettre (a²*pi)/2 - (l'aire du triangle ECA)

je préfère mettre [(a * racine² de 2)² * pi ]/4 - (aire du triangle ECA)

Pour l'aire ECA ca fait donc (2a * a)/2 donc aire EAC = 2a²/2 = a²

donc à la fin si j'ai bien compris, je me retrouve avec cette équation :

(a²*pi)/2 - [[(a * racine² de 2)² * pi ]/4 - a² ] = a²

Mais jaimerai savoir si dans l'exercice, pour prouver que l'équation est juste, je doit remplacer a par un nombre ou je doit calculer
(a²*pi)/2 - [[(a * racine² de 2)² * pi ]/4 - a² ] et trouver a² ?
Parce que ca fait un petit moment que j'essaye de résoudre l'équation avec le a et j'ai du mal.
Tu pourrais me faire voir comment on fait pour calculer ca avec le a stp ?

Merci beaucoup !

[cleyz]

Ah ! je crois que j'ai réussi mais ca serait dur de le mettre à l'écrit car j'arrive pas à mettre comme toi les caractères mathématiques.

[Quidam]

C'est ça que tu as trouvé ?

[cleyz]

Il restait juste le 5ème exercice que je n'ai fait qu'à moitié fait car il y a des calculs que je ne sais pas faire. Voilà l'exercice suivi de mes recherches.

ABC est un traingle tel que AB = 3, AC = 6 et BC = 5.
M est un point du segment [AB].
On pose AM = x. La droite (MN) est parallèle à (BC).
1. Calculer MN, AN puis NC en fonction de x.
2. On se pose la question suivante : existe il une valeur de x pour laquelle
MN² = AM² + NC² ?
a. Démontrer que si x existe alors : (6 - 2x)² = 16/9x².
b. Déduisez-en x.

J'ai fait la 1 mais la 2 je ne comprend pas très bien.

Pour la 1, j'ai trouvé avec Thalès :
AN = 2x
MN = 5/3x
NC = 6 - 2x

Pour la 2 j'ai un peu de mal.... J'ai fait :
MN² = AM² + NC² ; (5/3x)² = x² + (6-2x)² ;
25/9x² - x² = (6-2x)²
25/9x² - 9/9x² = (6-2x)²
(6 - 2x)² = 16/9x²

Après je suis blocké je n'arrive pas à trouver x avec les x² ....

Merci de votre aide.

[cleyz]

Pour ton deuxième post quidam c'est exactement ca que j'ai trouvé merci beaucoup pour ton aide.
J'aimerais juste savoir comment tu fait pour mettre des caractères mathématiques.
Merci.

[Quidam]

Pour ton deuxième post quidam c'est exactement ca que j'ai trouvé merci beaucoup pour ton aide.
J'aimerais juste savoir comment tu fait pour mettre des caractères mathématiques.
Merci.

Comme tout le monde, j'ai appris LaTex (une toute petite partie de LaTex) au fur et à mesure des besoins:
\sqrt{2} pour
\frac{3}{2} pour
x^2-5x+6 pour
C'est facile : tu apprends une chose à la fois, et c'est facile de vérifier à chaque fois ce que l'on a fait en cliquant sur "prévisualisation" avant d'envoyer son post !
Autres exemples :
\Large \sqrt{2} pour (pour écrire plus gros)

Si on sait écrire des racines et des fractions, automatiquement, on sait écrire des fractions contenant des racines :
\Large \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} pour
En fait, je ne sais presque rien ; cela me suffit, et parfois, je vais consulter wikipédia pour avoir une commande que j'ignore et dont j'ai besoin.

Va voir : Tout savoir sur LaTex

[Quidam]

ABC est un rectangle tel que AB = 3, AC = 6 et BC = 5.

Avec trois sommets, ça serait pas plutôt un triangle ?

[cleyz]

que suis-je bête !
Oui c'est un triangle :s
excuse moi.

[Quidam]

(6 - 2x)² = 16/9x²
Il faut développer !
6²-24x+4x²=(16/9) x²
réduire, puis résoudre l'équation !

[rene38]

Bonsoir

ou bien



et il reste à faire donner a²-b²=(a+b)(a-b) et résoudre l'équation-produit obtenue.

[Quidam]

Je suis miraud ces temps-ci, c'est pas possible ! Une fois de plus, tu as raison René ! Quelle idée j'ai eue de développer ! C'est pas vrai ça !

[cleyz]

J'y ai réfléchi ce matin et par pur hasard, de tête, j'ai remplacé x par 9 et j'ai trouvé 144 de chaque côté de l'équation .. ca me paraît bisard pour l'exercice parce que x c'est AM et AM est placé sur AB et AB = 3 .. je vais faire la construction à main levée et je verai bien si MN² = AM² + NC².

Merci beaucoup pour votre aide rene38 et Quidam !

[rene38]

9 est effectivement une solution de l'équation mais elle n'est pas acceptable car il faut que 0 < x < 3

Mais l'équation a une seconde solution qui convient parfaitement.

[cleyz]

C'est bon j'ai fait la figure à main levée et j'ai résolu l'équation trouvée par rene38 et tout tombe juste !

Je trouve : S = { 1,8 ; 9 }.

Merci beaucoup !

[Quidam]

J'y ai réfléchi ce matin et par pur hasard, de tête, j'ai remplacé x par 9 et j'ai trouvé 144 de chaque côté de l'équation .. ca me paraît bisard pour l'exercice parce que x c'est AM et AM est placé sur AB et AB = 3 .. je vais faire la construction à main levée et je verai bien si MN² = AM² + NC².

Ce n'est pas aussi bizarre que tu sembles le croire !
Tu as démontré que s'il existe M ayant la propriété demandée alors (6 - 2x)² = 16/9x². Mais rien ne dit que réciproquement, pour tout x solution de l'équation "(6 - 2x)² = 16/9x²", le "M" correspondant à ce x sera une réponse à ton problème géométrique !

Lorsque l'on fait de la géométrie, des propriétés géométriques on déduit souvent des propriétés algébriques, et on trouve ainsi des relations algébriques qui doivent obligatoirement être vérifiées par les variables en question. Mais parfois, et même souvent, ces conditions ne suffisent pas à garantir que ce sont des solutions du problème géométrique ! En d'autres termes, si M vérifie la condition géométrique imposée, alors forcément, obligatoirement, nécessairement, le x correspondant vérifie l'équation trouvée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie : le fait que x vérifie l'équation ne prouve pas que le M correspondant à ce x vérifie la condition géométrique demandée. On dit alors que la condition donnée par l'équation trouvée est "nécessaire" mais pas "suffisante".

L'intérêt de la méthode cependant est, puisqu'on est sûr que x vérifie l'équation, qu'il suffit de trouver toutes les solutions de l'équation et de vérifier pour chacune d'elle si elle est ou non susceptible de fournir une solution au problème géométrique. Il peut arriver que tu trouves une ou plusieurs solutions à l'équation, et que seulement une de ces solutions convienne, et même qu'aucune d'elles ne convienne ! Dans ce dernier cas, cela veut dire que le problème géométrique n'a pas de solution du tout ! Mais on peut finalement l'affirmer parce que l'on a au départ affirmé que s'il y a une solution au problème géométrique, alors, forcément, c'est l'une des solutions de l'équation, et comme aucune des solutions de l'équation ne convient, on peut déduire que le problème géométrique n'a pas de solution !

Pour revenir à ton problème, étant donné que ton équation est du second degré, tu dois trouver deux solutions ! Il se peut que seulement une d'entre elles convienne au problème géométrique, ou zéro. A l'évidence, tu as trouvé par hasard une solution au problème algébrique ! Il ne faut pas s'étonner, si elle ne convient pas !

Cela dit, ce qu'a dit rene38 à 0H01 ce matin devrait déjà t'avoir permis de trouver les deux solutions, parmi lesquelles, effectivement, 9 figure en bonne place.

[cleyz]

J'ai fait l'équation et j'ai trouve S = { 1.8 ; 9 }
Les deux solutions conviennent parfaitement car j'ai fait les deux figures avec les deux solutions et je trouvent systématiquement MN² = AM² + NC².

[Quidam]

J'ai fait l'équation et j'ai trouve S = { 1.8 ; 9 }
Les deux solutions conviennent parfaitement car j'ai fait les deux figures avec les deux solutions et je trouvent systématiquement MN² = AM² + NC².

Peut-être bien, mais je te rappelle que "M est un point du segment [AB]" ! Ce n'est pas moi qui le dis, c'est toi ! Donc la solution x=9 ne convient pas, comme l'a dit rene38 d'ailleurs !

[cleyz]

Oui donc la solution est 1,8.