Exercice Gauss

[California°]

[CENTER]Bonjour!
Je fais appel à vous pour un petit peu d'aide concernant un exercice en rapport avec la formule que Gauss à trouvé : [n(n+1)]/2


Soit S = 1+2+3+...+2003+2004+2005

1. Calculer S+S et en déduire S:

Ma réponse:

Il y'a 2005 nombres
Sachant que
. S = 1+2+3+...+2003+2004+2005 = 2005+2004+2003+...+3+2+1
. 2005+1=2006 ; 2004+2=2006 ; 2003+3=2006 ...

Alors
S+S = 2005*2006 = 4022030
Donc S= 4022030/2= 2011015

2. Généraliser en donnant la valeur de:
1+2+3+...+n
Ma réponse: Si S est une addition de chiffre qui se suivent, tel que 1+2+3+4+5+...+n, alors S= [n(n+1)]/2

3. Soit P=2+4+6+...+2k , k était un entier naturel non nul. Montrer que P = k(k+1)
Ma réponse: Ce n'est plus k, mais 2k, on multiplie donc [k(k+1)]/2 par 2.
Ce qui fait k(k+1)

4.Soit I = 1+3+5+...+ (2k+1). Calculer P+I en déduire que I=(k+1)²

Là mon problème, c'est que je vois pas comment on peut calculer P+I, puis déduire I par la suite.. Il faut d'abord trouver I pour calculer P+I. Moi j'ai mis ça, mais je suis quasiment sûre que c'est faux:

Ma réponse: Pour k=8

P= 8(8+1)=8*9=72
I= (k+1)² = (8+1)² = 81
P+I = 72 +81 = 153

I = 1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81
et I= (k+1)²=(8+1)²=81
Donc I est bien égal à (k+1)²

Voilà, si vous pouvez m'aider à mieux rédiger le petit 4. et puis si vos avez de meilleur rédaction à me proposer pour les autres, je suis preneuse!
Merci d'avance!

De plus, j'ai un petit problème avec la spirale de Pythagore, je dois tracer un segment en dessous sur une droite (d)
. [AB] tel que AB = Racine de 2 + Racine de 5
. [BC] tel que BC = Racine de 7 - Racine de 2
. [AD] tel que AD = 1/(racine de 6 -2)

Moi j'ai mesuré les racine sur la spirale, je les ai ajouté et tracé sur la droite, mais je ne suis pa sûre, et puis [AD] tel que AD = 1/(racine de 6 -2) je ne sais vraiment pas commentfaire[/CENTER]

[anthonys]

Pour la question 2) c'est un peu rapide comme conclusion!
Sers-toi de S+S!

[anthonys]

Pour la question 3) sers-toi aussi de S+S!
Attention, il n'y a pas de 5.

[California°]

2.
Dans le 1, nous avons démontré que S+S = n*n+1
Pour trouver S, il suffit de diviser par 2, pour obtenir
S = [n(n+1)]/2

C'est mieux?

[anthonys]

Question 4):
Les nombres Pairs peuvent s'écrirent sous la forme 2k,
et les nombres impairs sous la forme 2k+1.
Donc si additionne les nombres pairs jusqu'à 2k, plus les nombres impairs jusqu'à 2k+1, on obtient.....

[anthonys]

2.
Dans le 1, nous avons démontré que S+S = n*n+1
Pour trouver S, il suffit de diviser par 2, pour obtenir
S = [n(n+1)]/2

C'est mieux?

Oui c'est mieux!
Un peu d'explication ne fait pas de mal!

[California°]

3.

P est composé de nombres pairs. En multipliant par 2 un chiffre, on obtient forcément un nombre pair.

S+S = n*(n+1)
donc P+P = 2[k*(k+1)] (=> on multiplie 2 pour obtenir un nombre pair)
donc P= 2[k*(k+1)] / 2 = k*(k+1)

4.

Nombres pairs(2k) jusqu'à 2k = k*(k+1)
Nombres impairs(2k+1) jusqu'à 2k+1 = 2[k+1*(k+1]]/2 = k+1*k+1=(k+1)²

Raaah, j'ai comprispourquoi c'était (k+1)² mais j'arrive pas à expliquer..

[anthonys]

Indice:
S(2k+1)=P(2K)+I(2K+1)
On sait calculer S et P, il est facile de déduire I

[California°]

I= S-P
I= [k(k+1]]/2 - [k(k+1)]
I = (k²+k)/2 - (k²+k)

Euuh non, je vois vraiment pas là..

[aeon]

Bin I=S-P

mais le problème c'est que
S = 1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n = n*(n+1)/2

Et dans le cas I=S-P :
S= 1 + 2 + 3 + ... + 2k + 2k+1 = ?

[California°]

[CENTER]Euh, désolé mais là j'ai vraiment du mal à comprendre..[/CENTER]

[Kah]

Tu es d'accord que un entier impair, c'est un entier qui n'est pas pair?

[California°]

oui!
J'ai compris aussi que 2k est forcément pair quelque soit k, et que 2k+1 est forcément impaire quelque soit k.

[Kah]

Okay on avance!
Donc on peut écrire une somme d'entiers impairs une la différence d'entiers et de nombres pairs?
Ainsi, I=S-P,
Mais ici, le dernier terme de I est 2k+1, Donc il faut que le dernier terme de "S" soit non pas k, mais "2k+1"!
Donc tu remplaces le "n" de n(n+1)/2 par "2k+1" :++:

[California°]

Je remplace tous les n?

(2k+1)(2k+1+1) /2

Ou

(2k+1)(k+1) /2

Et le résultat obtenu correspondra à quoi?

[California°]

Je crois que j'ai trouvé un truc:

J'ai fait, pour k=10

P=10(10+1)=110
I=1+3+5+7+9+11+13+15+17+21=121
121= 100+21 = 10²+2*10+1
Si on remplace 10 par k, on trouve:
I=k²+2k+1
I=(k+1)²

Ou sinon toujours pour k=10

P=10(10+1)=110
I=1+3+5+7+9+11+13+15+17+21=121

La différence entre P et I est de 11
k+1=10+1=11
Donc la différence entre P et I est de k+1
Donc I = P+11 = k²+k+k+1=(k+1)²

:we:

Mais bon, ça ne répond pas à la consigne qui demandait Calculer P+I et en déduire que I=(k+1)²

[anthonys]

En fait, quand on te demande de calculer P+I, cela revient à calculer S que tu sais faire.
avec S=1+2+3+...+2k+1 donc S=?
Une fois que tu auras calculer S, tu sais que S=P+I d'où I=S-P.
N'oublies pas que l'on te demande de déduire I et non de la calculer!