Exercice : Formule de Viète - MATHS EXPERTES

[LaBrigue]

Bonsoir à tous,
Je me permets de vous déranger mais j'ai besoin d'aide concernant mon DM de maths expertes.
Voici l'énoncé !
1.On considère le polynôme défini sur C par Q(z)= 18z^3-27z^2+13z-2.
a. En étudiant les variations de la fonction définie sur R par Q(x), justifier que Q admet trois racines réelles x1; x2; x3 qu'on ne cherchera pas à calculer.
J'ai ici appliqué un corollaire du TVI après avoir dressé le tableau de variations de la fonction du polynôme.
On rappelle que dans un montage de n résistances en parallèle, la résistance aux bornes vérifie la relation suivante :
J'ai essayé d'écrire sous cette forme pour que vous puissiez la lire plus facilement \frac{1}{_{Req}}=\frac{1}{_{R1}}+\frac{1}{_{R2}}+...+\frac{1}{_{Rn}}. Mais visiblement ça ne fonctionne pas...
1/Req=1/R1+1/R2+...+1/Rn
b. Un mathématicien sadique branche en parallèle trois résistances en choisissant pour valeurs x1 ; x2 ; x3 ohms, les racines du polynôme Q.
En utilisant les formules de Viète, déterminer la valeur de la résistance équivalente.
Ici, on nous invite à utiliser ces formules de Viète (que l'on a démontré précédemment dans le DM) : x1+x2+x3=-b/a ; x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a et x1x2x3 = -d/a. J'ai donc dans un premier temps essayé de déterminer les racines à l'aide d'un système d'équations. Mais ce n'est pas résolvable. J'ai ensuite essayé de tourner la formule de la résistance pour qu'elle ressemble à une forme de Viète mais sans succès non plus. Je bloque...
2. En sens inverse :
a. En utilisant les formules de Viète, déterminer un polynôme vérifiant :
-> z1 + z2 + z3 = 17
-> z1z2 + z1z3 + z2z3 = 94
-> z1z2z3 = 168
b. Vérifier que 4 en est une racine et déterminer les autres.
Ici, je bloque aussi. Je n'y arrive dans aucun sens et je ne vois pas d'où partir...
3. On considère le polynôme défini sur C par R(z) = z^3+ z^2 + λz où λ appartient à R.
a. Démonter que trois nombres z1, z2 z3 sont en progression arithmétique si et seulement si :
2*z2 = z1+ z3
b. Déterminer la valeur de λ pour que les racines de R soient en progression arithmétique.
Ici c'est la cata. J'ai moins cherché que les autres questions mais je n'y arrive pas du tout...
Je vous remercie d'avance pour votre aide. (Je tiens à préciser que ce n'est qu'une partie de mon DM et que je n'ai mis ici seulement les questions qui me bloquaient.)
Bonne soirée à tous.

[capitaine nuggets]

Salut !

1.a/ Petite remarque personnelle : tu peux remarquer que la somme des coefficient de est nulle donc est une racine "évidente" de .

1.b/ En réduisant au même dénominateur, on a

.

Après tu sais via le cours, ou bien tu retrouves en développant la forme factorisée , que , et sont racines de , avec , si et seulement si



donc

2.a/ D'après ce que j'ai écris juste au-dessus tu devrais pouvoir en conclure rapidement que par exemple répond à la question posée.

2.b/ Pour vérifier que est racine de vérifie seulement que . En conséquence, il existe un trinôme du second degré tel que l'on ait, pour tout , avec , et . Identifie donc les coefficients réels , et puis résous l'équation pour en déduire les deux autres racines de .

3.a/ Trois nombres complexes , et sont dits en progression arithmétique dans cet ordre si on ajoute la même quantité pour "passer" de à et de à ; en d'autres termes .

3.b/ D'après ce que je t'ai rappelé en question 1.b/ , et sont racines de si et seulement si




Or on veut d'après l'énoncé que le racines , et soient en progression arithmétique donc on a une condition supplémentaire



A partir de la première et la dernière équation, on en déduit la valeur de .

La troisième équation nous indique qu'il y a (au moins) une des trois racines qui est nulle. Or ça ne peut pas être et puisque les racines et jouent des rôles symétriques, on peut par exemple supposer, sans perte de généralité, que . Ainsi on a



On peut donc trouver et

Bon courage

[LaBrigue]

Merci beaucoup pour votre temps je vais m'y pencher dessus et je reviens vers vous si j'ai des questions !

[LaBrigue]

Salut !

1.a/ Petite remarque personnelle : tu peux remarquer que la somme des coefficient de est nulle donc est une racine "évidente" de .

1.b/ En réduisant au même dénominateur, on a

.

Après tu sais via le cours, ou bien tu retrouves en développant la forme factorisée , que , et sont racines de , avec , si et seulement si



donc

2.a/ D'après ce que j'ai écris juste au-dessus tu devrais pouvoir en conclure rapidement que par exemple répond à la question posée.

2.b/ Pour vérifier que est racine de vérifie seulement que . En conséquence, il existe un trinôme du second degré tel que l'on ait, pour tout , avec , et . Identifie donc les coefficients réels , et puis résous l'équation pour en déduire les deux autres racines de .

3.a/ Trois nombres complexes , et sont dits en progression arithmétique dans cet ordre si on ajoute la même quantité pour "passer" de à et de à ; en d'autres termes .

3.b/ D'après ce que je t'ai rappelé en question 1.b/ , et sont racines de si et seulement si




Or on veut d'après l'énoncé que le racines , et soient en progression arithmétique donc on a une condition supplémentaire



A partir de la première et la dernière équation, on en déduit la valeur de .

La troisième équation nous indique qu'il y a (au moins) une des trois racines qui est nulle. Or ça ne peut pas être et puisque les racines et jouent des rôles symétriques, on peut par exemple supposer, sans perte de généralité, que . Ainsi on a



On peut donc trouver et

Bon courage

Bon, je me suis trompé en écrivant le dernier polynôme. Ce n'est pas R(z) = z^3+ z^2 + λz mais R(z) = z^3+ z^2 + λz -3. La question 3.b. devient donc un peu plus complexe. Je cherche.

[LaBrigue]

C'est bon ! J'ai lambda = -79/9 et ça marche j'ai vérifié.