Exercice de fonction de 4eme degré

[call77]

Bonsoir, je poste ce sujet parce que je bloque sur un exercice de fonction :

La fonction f est défini sur R par : f(x) = 1/4*x^4 - 2x² + x

1) étudier le comportement de f en + infini et - infini (limites, branches infinies)

2) Calculer f'(x)

3)a) étudier les variations de g : x-> f'(x)et montrer que l'équation g(x) = 0 admet trois solution alpha, bêta, gamma avec alpha
b) Donner une valeur approché de alpha,bêta,gamma à 0.01 près

c) précisez le signe de g(x) sur

4) Dressez le tableau de variations de f sur R

5) Prouver que le point Cf d'abscisses alpha, bêta, gamma sont situés sur la parabole d'équation y = -x² + 3/4*x

6) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, en plaçant soigneusement les extremums relatifs et la tangente au point d'abscisse 0.

En fait je suis bloqué a la première question, car je ne sais pas ce qu'est une "branche infini", a cause de ça je n'arrive pas à faire la 3eme question non plus

[Sa Majesté]

Etudier les branches infinies consiste à déterminer si la courbe admet des asymptotes

[call77]

Merci e ta réponse, voila ce que j'ai après

1)lim f(x) = + infini
x-> + infini

lim f(x) = + infini
x -> - infini

Il n'y donc aucune asymptote.

2)f'(x) = x^3 - 4x + 1

Pour la 3) je ne sais pas comment m'y prendre pour étudier les variations de g :triste:

Si tu pouvais m'expliquer ce serait généreux de ta part :)

[Sa Majesté]

Merci e ta réponse, voila ce que j'ai après

1)lim f(x) = + infini
x-> + infini

lim f(x) = + infini
x -> - infini

Il n'y donc aucune asymptote.

Cela ne suffit pas
Par exemple la fonction g(x) = x - 1 + 1/x
admet la limite +oo en +oo
Elle admet pourtant pour asymptote la droite d'équation y = x - 1
car g(x) - (x-1) = 1/x tend vers 0 en +oo
C'est une asymptote oblique

[call77]

Cela ne suffit pas
Par exemple la fonction g(x) = x - 1 + 1/x
admet la limite +oo en +oo
Elle admet pourtant pour asymptote la droite d'équation y = x - 1
car g(x) - (x-1) = 1/x tend vers 0 en +oo
C'est une asymptote oblique

Je comprend ta démarche mais dans ce cas, aucun terme ne tend vers 0, donc l'équation de l'asymptote serait 1/4*x^4 - 2x² + x ?
Je suis pas sur d'avoir compris...

[Sa Majesté]

Je réagissais simplement au fait que même si la limite en +oo d'une fonction est +oo, la courbe représentative de cette fonction peut admettre une asymptote
Ce n'est pas le cas ici
Tu peux aller voir sur Wiki
http://fr.wikipedia.org/wiki/Asymptote

[call77]

Oui en fait, en montrant que la limite de +oo et -oo de la fonction est +oo, je voulais montrer que la fonction n'a pas d'asymptote horizontal, seul type d'asymptote possible, comme il n'y aucun terme tendant vers 0 et aucune valeur interdite, mais c'est vrai que je l'ai pas précisé...
Sinon, ce serait sympathique de ta part si tu pouvais m'éclairer a propos de la question 3)

[Sa Majesté]

Pour étudier les variations de g=f', il faut faire comme d'habitude c'est-à-dire dériver g et étudier le signe de g'

[call77]

Si je comprend bien dans ce cas la g = f'
si c'est le cas :

g' = 3x² - 4

Mais lorsque que l'on doit doit résoudre g(x) = 0 on ne doit pas prendre la dérivée, n'est-ce pas ? même si je pense que pour trouver le signe d'une fonction, il faut résoudre l'équation (g'=0)... car je ne sais pas si je vais tomber sur trois solutions dans ce cas la et on dit aussi dans l'énoncé de calculer g(x) = 0.
Je ne vois pas lequel résoudre...

[Sa Majesté]

Etudie les variations de g en résolvant g'(x)=0, trouve les extremums relatifs de g et ses limites et tu verras que le théorème des valeurs intermédiaires te permettra de dire quand g s'annule

[call77]

J'ai résolu l'équation et j'ai trouvé : V(4/3) et -V(4/3) comme solution

Et après avoir étudier le signe de g j'ai trouvé :
un maximum local en -2.08
un minimum local en 4.08

Mais de la, je n'arrive plus a avancer, si tu pouvais m'éclairer...

[Sa Majesté]

J'ai résolu l'équation et j'ai trouvé : V(4/3) et -V(4/3) comme solution

Et après avoir étudier le signe de g j'ai trouvé :
un maximum local en -2.08
un minimum local en 4.08

Mais de la, je n'arrive plus a avancer, si tu pouvais m'éclairer...

Tu veux dire :
un maximum local atteint en -V(4/3) et qui vaut 4.08 > 0
un minimum local atteint en V(4/3) et qui vaut -2.08 < 0
Le TVI montre que g s'annule une fois entre -V(4/3) et V(4/3)
Idem entre -oo et -V(4/3), après avoir identifié la limite en -oo
Idem entre V(4/3) et +oo, après avoir identifié la limite en +oo

[call77]

Tu veux dire :
un maximum local atteint en -V(4/3) et qui vaut 4.08 > 0
un minimum local atteint en V(4/3) et qui vaut -2.08 < 0
Le TVI montre que g s'annule une fois entre -V(4/3) et V(4/3)
Idem entre -oo et -V(4/3), après avoir identifié la limite en -oo
Idem entre V(4/3) et +oo, après avoir identifié la limite en +oo

Oui plutôt ^^, sinon, j'ai trouvé la 3eme solution graphiquement, c'est 0.2541 (précis grâce à un logiciel)

donc
alpha = -V(4/3)
bêta = 0.25 (si tu pouvais me dire comment trouver cette valeurs par un calcul pour être plus précis..)
gamma = V(4/3)


donc

x |-oo____-V(4/3__0.25___V(4/3)_+oo__
g'(x) |__+_____|___-__|__-____|___+____|

g(x) | ascendante, descendante, descendante, ascendante

f(x), ce serait pas la même chose ?

[Sa Majesté]

donc
alpha = -V(4/3)
bêta = 0.25 (si tu pouvais me dire comment trouver cette valeurs par un calcul pour être plus précis..)
gamma = V(4/3)


donc

x |-oo____-V(4/3__0.25___V(4/3)_+oo__
g'(x) |__+_____|___-__|__-____|___+____|

g(x) | ascendante, descendante, descendante, ascendante

f(x), ce serait pas la même chose ?

OK pour beta, mais pas pour alpha et gamma
Tu as g(alpha)=0, g(beta)=0 et g(gamma)=0
Il faut trouver alpha et gamma
Le tableau de variations indique que
alpha V(4/3)
Une fois que tu as alpha, beta et gamma, n'oublie pas que g=f', ce qui permet de trouver les variations de f

[call77]

Tu pourrais pas me dire comment calculer alpha et gamma par le calcul(résoudre une équation x^3-4x+1=0 ?), parce que la je suis un peu confus, bien évidemment je trouve les solutions graphiquement, mais ça ferait un peu louche si je faisais tout graphiquement

alpha : -2,115
gamma : 1,861


x |-oo____-2.12__0.25___1.86_+oo__
g'(x) |__+_____|___-__|__-____|___+____|

g(x) | ascendante, descendante, descendante, ascendante

Mais comment trouver les variations d'une fonction avec les variations de sa dérivée ?

En fait je crois avoir faux au tableau de signe....

[Sa Majesté]

Il faut trouver alpha et gamma graphiquement.
On peut les calculer mais ce n'est pas à ton programme.

x |-oo____-V(4/3________V(4/3)_+oo__
g'(x) |__+_____|___|__-____|___+____|

Il faut ajouter les variations de g avec ses limites en -oo et +oo et les valeurs de g(-V(4/3)) et g(V(4/3))
Puis placer alpha, beta et gamma qui annulent g
Puis refaire un tableau
x |-oo_____alpha________beta_____gamma______+oo__
g'(x) |________|__________|__________|_________|

Je te laisse mettre les signes et ajouter une ligne pour les variations de f (car f'=g)

[call77]

lim g(x) = +oo
x-> +oo

lim g(x) = -oo
x-> -oo

Je ne vois pas quoi faire avec g(-V(4/3)) et g(V(4/3)) car en les calculant je trouve les extremums...

le tableau je l'ai fait à l'aide du graphique comme j'ai pas résolu d'équation:

x |-oo_____-2.12________0.25_____1.86______+oo__
g(x) |___-____|_____+____|____-___|____+____|
f(x) | descend_____ascend__descend____ascend

Je ne suis vraiment pas sûr de ce que j'avance...

[call77]

help, si quelqu'un pouvait corriger...

[call77]

C'est réglé, j'ai fini l'exercice... merci de ton aide Sa Majesté

[Sa Majesté]

C'est réglé, j'ai fini l'exercice... merci de ton aide Sa Majesté

Merci à toi de donner des nouvelles, c'est tellement rare :++: