Exercice facultatif

[Imane2010gazri]

Salut, je propose cette question facultative;

x;y deux réels/ √((x-1)'2 + 4) +√((y-2)'2 + 1) <= √(x'2 +y'2)
Montrer que 2x+y=xy

[pascal16]

à gauche des chiffre en dessus de lettre du clavier, il y a un "2" qui permet de faire le symbole "²".

[aymanemaysae]

Bonjour;

Tu as : ;

donc : .

En développant et en réduisant tu obtiens : ;

donc : .

En développant encore et en réduisant tu obtiens : .

Il te suffit maintenant pour conclure de remarquer que : .

Joyeux Noël .

[Black Jack]

Salut,

V((x-1)²+4) + V((y-2)²+1) <= V(x²+y²)

x²-2x+5 + y²-4y+5 + 2.V[(x²-2x+5)(y²-4y+5)] <= x² + y²

-2x-4y+10 + 2.V[(x²-2x+5)(y²-4y+5)] <= 0

2.V[(x²-2x+5)(y²-4y+5)] <= 2x+4y-10

Les 2 membres sont obligatoirement positifs .

4.(x²-2x+5)(y²-4y+5) <= 4.(x+2y-5)²

(x²-2x+5)(y²-4y+5) <= (x+2y-5)²

x²y² - 4yx² + 5x² - 2xy² + 8xy - 10x + 5y² - 20y + 25 <= x² + 4y² + 25 + 4xy - 10x - 20y

x²y² - 4yx² + 4x² - 2xy² + 4xy + y² <= 0

4x² + y² + 4xy + x²y² - 4yx² - 2xy² <= 0

(2x + y)² + xy.(xy-4x-2y) <= 0

(2x + y)² + xy.(xy-2(2x+y)) <= 0

(2x + y)² - 2xy(2x+y) + x²y² <= 0

((2x+y) - xy)² <= 0

Et donc comme un carré est >= 0, on a obligatoirement : ((2x+y) - xy)² = 0, soit donc :

2x+y = xy

Il y a probablement plus direct.

[chan79]

Soit quelconque du plan


D'après l'inégalité triangulaire dans le triangle :

soit comme


Compte tenu de l'hypothèse, on a en fait l'égalité donc il est nécessaire que A soit un point de (PN)
et les vecteurs et sont colinéaires



A noter que la réciproque de l'énoncé ne marche pas:
si on prend x=-1 et y=1
on a 2x+y=xy
et