Exercice exponentielles

[Costorm]

Bonjour,

Je sollicite votre aide pour un exercice portant sur les exponentielles.
Il y a quelques points où j'aurais besoin de votre éclaircissement...

Avec e = exponentielle

Soit la fonction f(x) = x - 1 + (x² +2)e(-x)

On pourra admettre lim x -> + infini de xe(-x) = 0 et lim x -> +infini de x²e(-x) = 0

-> Etude fonction auxiliaire g(x) = 1 - (x²-2x+2)e(-x)

1) Calculer la limite de g quand x tend vers +infini. Je trouve 1 car lim x -> + infini de x²e(-x) = 0, 2xe(-x) = 0 et -2e(-x) = 0
2) Calcul de g'(x) et déterminer son signe
Je trouve g'(x) = -4x e(-x) + 4 e(-x) - e(-x)x² (après avoir développé g(x) je fais la dérivée et donc avec tous les produits je tombe sur ça)
Si mon g'(x) est valable, quelle méthode utiliser pour déterminer son signe ?
3) Déduire le tableau de variations de g
-> Pas de soucis si je sais la réponse précédente

4) Démontrer que g(x) = 0 a une solution alpha dans R et alpha unique. Donner l'encadrement de alpha avec une amplitude de 10^-2.
Je fais donc g(x) = 0 je tombe sur 1 - e(-x) (x² + 2x -2) = 0
Comment effectuer par la suite ?

5) Déterminer le signe de g sur R.

-> Etude de f

1) Limites de f en - infini et +infini.
+infini je trouve + infini et -infini je dois trouver -infini mais je ne sais comment justifier ?
2) Déterminer f'(x)
Je trouve f'(x) = 1 + 2xe(-x) - e(-x)x² -2e(-x)
Est-ce bon ? Peut-on simplifier ?
3) Déduire à partir de la partir de la fonction auxiliaire les variations de f et donner son tableau de variations.
4) Démonter que (alpha²+2)e(-alpha) = 1 + 2 alphae(-alpha) puis que f(alpha) = alpha (1+2 e(-alpha) )
Etant donné que je n'ai pas alpha, je ne peux pas encore faire cela

5) Démontrer que y = x-1 asymptote -> Fait
Préciser la position de l'asymptote D représentative de y = x-1 par rapport à D.
Il faut donc étudier le signe de (x² +2) e(-x) mais comment effectuer ?

6) Donner une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0.
y = f'(0) (x-0) + f(0)

J'ai f(0)=1
Par contre je n'ai pas encore le f' étant donné que je ne suis pas sur de ma dérivée...

En vous remerciant d'avance, je vous souhaite à tous un excellent week-end

[Ericovitchi]

g'(x) n'a pas l'air juste
(tu as dû oublier que la dérivée de c'est )
g'(x)=

Pour étudier le signe c'est facile. l'exponentielle est toujours positive donc le signe de g' c'est le signe du polynôme du second degré. Et comme il s'écrit (x-2)², .....

[Costorm]

Ok, merci beaucoup !

Pour trouver alpha, comment résoudre 1 - e(-x) (x² + 2x -2) = 0 ?

Merci d'avance

[Ericovitchi]

on ne te demande pas de trouver explicitement alpha, on te demande de montrer qu'il existe.
Comme la dérivée est positive, la fonction est croissante et passe du négatif au positif donc alpha existe (car la fonction est continue).
Cela dit si tu en veux une valeur approchée de
1 - (x²-2x+2)e(-x)=0, c'est toujours possible
alpha ~ 0.3512625335229398

[Costorm]

Ok, merci beaucoup.
Concernant la Partie B, pour les variations
Je viens de remarquer qu'on pouvait effectuer un rapprochement entre f'(x) et g(x), néanmoins comment procéder pour en déduire les variations ?

Merci d'avance

[Ericovitchi]

Oui un "rapprochement" ;+) En fait f'(x)=g(x) tout simplement

Donc comme tu as trouvé le signe de g(x), tu vas pouvoir en déduire quand est-ce que f(x) est croissante ou décroissante.

[Costorm]

Ok, merci !

J'ai trouvé la démonstration de la partie 4)B mais uniquement la seconde.

Pour la première, j'essaie de développer (alpha²+2)e(-alpha) mais je n'aboutis pas au résultat désiré.
J'essaie également de faire la soustraction mais je n'arrive pas à zéro...

Y'a t-il une méthode particulière ?

Merci

[Ericovitchi]

Tu sais par définition que annule g donc . Ca s'écrit :

dont tu déduis l'expression qu'ils t'ont demandé en faisant passer 2 termes de l'autre coté

pour le c'est pareil tu remplaces dans l'expression de f et tu utilises la formule que tu viens de démontrer pour remplacer