Exercice exponentielle (terminale S)

[Kkshiii]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire pour la rentrée mais j'ai un doute sur une question. Voici l'exo :

1) Résoudre l'inéquation e^x - e^(-x) > 0
2) Soit f la fonction 1/(e^x - e^(-x)) . Établir le tableau de variations de f.
3) On considère la fonction g et h définies par g(x)=1/e^x et h(x)=1/2e^x
a. Démontrer que pour tout x réel positif h(x)⩽f(x)⩽g(x)
b. Que peut on en déduire pour leur courbe respective ?


Pour la 1 pas de souci, on trouve que x>0 donc les solutions sont ]0;+∞[

Pour le 2 je calcule la dérivée de f et trouve :
f'(x)=( -e^x+e^(-x))/(e^x+e^(-x))²

donc j'en déduis le signe de f'(x) : négatif et trouve que f(x) est donc strictement décroissante sur IR..
Sauf que lorsque je vérifie la courbe de f sur ma calculatrice je ne trouve pas une courbe strictement décroissante donc je ne comprends pas où j'ai pu me tromper !



Pour la 3 j'ai réussi a démontrer l'affirmation attendu mais je ne sais pas trop quoi dire par rapport à leurs courbes ? Mis à part que g(x) est "au dessus" des 2 autres et h(x) "en dessous"...

Voilà merci de votre aide.

[Carpate]

Tu as dû faire une erreur de saisie sur ta calculatrice
f est bien monotone, décroissante sur R
Par contre je trouve que sur , on a les inégalités : et non : [0;}\infty[

[aviateur]

Bonjour
Est-ce que tu as commencé par le début du tout début? C'est à dire le domaine de définition de f c'est quoi?
Et puis de toute façon ton calcul de f' est faux.

@carpate
f n'est pas monotone décroissante sur (et ne peux pas l'être)

[Kkshiii]

aha qui croire du coup ??
bon bah je sais pas trop quoi faire..

[Kkshiii]

ah d'accord je pense avoir compris ! f(x) est bien décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[ !
donc normalement cela devrait être juste

cependant je ne comprends pas pourquoi on trouve h(x)⩽g(x)⩽f(x) au lieu de l'affirmation de départ

[aviateur]

aha qui croire du coup ??

Si tu ne me crois pas, il te faut mon CV par hasard?

2) Soit f la fonction 1/(e^x - e^(-x)) . Établir le tableau de variations de f.

D'abord quand je vois ça et bien ça veut dire qu'a priori (tu peux me croire beaucoup le confirmeront)

Pour le 2 je calcule la dérivée de f et trouve :
f'(x)=( -e^x+e^(-x))/(e^x+e^(-x))²

(idem on te le confirmera)
Quand je vois ça c'est manifestement faux.

Dire que f'(x)<0 ça n'implique pas que f est décroissante sur R . Et d'ailleurs la question ne se pose pas si on n'a pas bien fait le début. Ce qui n'est pas le cas.

Domaine de définition ça te dit quelque chose?

Contrairement à @Carpate je ne vais pas voir plus loin. Je ne lis pas les questions suivantes
car d'expérience il vaut mieux si on ne précise pas sur quel domaine on travaille on risque de dire n'importe quoi.

[Kkshiii]

j'ai précisé plus bas que f était décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[ puisqu'on étudie dans la question précédente e^x - e^(-x) > 0 .

Sauf que je ne vois pas en quoi la dérivée est fausse par contre :
f(x)= 1/(e^x - e^(-x))
f'(x) = - (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)²
f'(x) =(- e^x+e^(-x))/(e^x+e^(-x)²


On a vu l'année dernière (si j'ai pas de trop mauvais souvenirs )que le signe de la dérivée nous donne les variations de la fonction en question. Soit lorsque f'(x) est strictement négatif, f(x) est strictement décroissante.

M'enfin bref, merci pour votre aide, sur ma copie je préciserai bien sur quel domaine de définition on étudie les variations de f.

[aviateur]

Vraiment tu ne comprends pas qu'il faut de la rigueur.
L'énoncé au départ ne précise pas que l'on travaille sur . Ou alors tu as oublié de le dire?
Moi je ne suis pas devin. Alors sans restriction aucune f est une fonction de R dans R et son domaine de définition c'est
Ensuite même @carpate a parlé de monotonie sur R. Tu pense pas qu'il y a un problème? Il ne s'agit pas de croire l'un ou l'autre mais il y a un problème de lecture de l'énoncé.

Ensuite pour la dérivée c'est un autre problème:f est de la forme f(x)=u(x)/v(x)
C'est quoi la dérivée de f?

[Kkshiii]

c'est vrai qu'il n'est pas précisé dans quel domaine de définition on étudie f. mais avec la question précédente, je pensais que c'était un peu "sous-entendu" qu'on s’intéressait à ]0;+∞[..
sinon évidemment qu'elle n'est pas monotone sur R

f est de la forme 1/u(x) donc la dérivée de f est : -u'(x)/(u(x))²
j'ai donc appliqué cette formule

[aviateur]

Tu veux plutôt dire les questions suivantes.
A priori on lit un énoncé dans l'ordre. C'est pour cela qu'on ne peut pas s'entendre si on ne parle pas de la m^me chose.
En tout cas si l'énoncé est tel que tu le donnes, je ferai 2 remarques.
1. L'auteur devrait faire un effort de mettre les points sur les i.
2. Perso j'étudie la fonction à fond (i.e sur R) quelque soit les questions à suivre.


Et bien au dénominateur tu n'a pas mis u(x) il me semble.

[Kkshiii]

oh lala n'importe quoi j'ai changé un signe .. en fait f(x) =1/e^x+e^(-x)
vraiment désolé ! c'est sûr qu'avec un énoncé erroné on allait pas aller loin..

c'est vrai, je suis d'accord je trouve l'énoncé un peu ambiguë.. (en même temps c'est mon prof de maths qui l'a rédigé).

du coup je comprends où vous vouliez en venir : vu qu'il n'est pas précisé sur quel domaine définition on se place, considérons que c'est pour tout x réel, c'est vrai que ça parait logique.

[Kkshiii]

après c'est vrai que si on essaie d'anticiper, je pencherai à dire qu'on se place dans l'intervalle ]0;+∞[. puisque dans la question 3 on cherche à montrer que h(x)⩽f(x)⩽g(x).
or si on se place dans R on sait que f(x) n'est pas toujours supérieur à h(x) (inférieur à h(x) pour ]-∞;0[)
c'est vrai qu'il aurait été préférable de le préciser parce que là je suis aller cherché ces infos dans les questions d'après

[aviateur]

Bonjour
Bon en relisant ce que tu as écris je vois que tu as dit aussi que f est décroissante sur R.
Donc je propose ceci (en bref) pour être rigoureux.
1. La fonction f est définie sur (
2. Le calcul de la dérivée (après correction) montre f'(x)<0 sur
(ne pas dire que f est décroissante sur comme je l'ai vu 2 fois, ni même sur )
On en déduit que f est décroissante sur chaque intervalle de son domaine de définition

Remarque on peut faire mieux (comme par exemple voir que f est impaire, pas décroissante sur

Ensuite continuer le problème en travaillant maintenant sur


Par exemple pour montrer que

l'inégalité à démontrer est successivement équivalente à :

(les dénominateurs étant >0)
.

Cette dernière égalité étant vraie alors cela démontre le résultat.

Concernant les courbes la réponse est évidente.
Remarque comme remarqué par @carpate , l'inégalité est stricte.