Exercice exponentielle

[Inescafe]

bonjour voici mon énoncé,

pour k réel on considère la fonction définie su IR par fk(x) = (x+1)e^kx (kx en puissance,)
1) quelle est la nature de f0
il s'agit d'une fonction affine car f0= x+1

2)déterminer les limites en -∞ et +∞ en distinguant les cas k<0 et k>0
en -∞ pour k<0 j'ai trouvé +∞
en -∞ pour k>0 j'ai trouvé 0
en +∞ pour k<0 j'ai trouvé 0
en +∞ pour k>0 j'ai trouvé +∞
mais je ne sais pas si j'ai le droit de de faire comme un produit des puissances en j'ai par xemple + ∞ * (-3) et je me suis dis que ca faisait -∞ et j'ai fait la limite de e^-∞ =0

3)a) étudier le signe de (x+1)(e^x-1)
j'ai fait f'(x) qui est égal à e^x(x+2)-1 donc croissant
b) en déduire la position relative de Tk et Tk+1 représentant les fonctions fk et fk+1
je ne sais pas du tout quoi faire

4) étudier le sens de variation de fk pour k<0 et k>0
il faudrait faire la dérivée de la fonction mais quelle est la dérivée de e^kx je n'y arrive pas

merci d'avance pour votre aide

[pascal16]

fk+1-fk(x) = (x+1)e^((k+1)x)-(x+1)e^kx = (x+1)e^(kx).e^x-(x+1)e^kx =(x+1)e^kx .(e^x-1)
a le même signe que (x+1).(e^x-1)
quand cette quantité est positive Tk+1 est au dessus de Tk