Exercice: expo + suite + fonction.

[kiwi251]

bonjours a tous.

voila j'aimerais resoudre cette exercice:

soit f(x)= (e^-x)cos(4x) sur [0; + oo[
et T sa courbe representative dans (O;i;j)
soit g(x)= e^-x sur [0; +oo[
et C sa courbe representative dans (O;i;j)

1)a) Montrer que pour tout x de [0; +oo[
-e^-x < (ou =) f(x) <(ou =) e^-x

j'ai resolu comme ceci:

-1 <(=) cos (4x) <(=) 1 on multiplie par e^-x qui est toujours positif donc on ne change pas le sens.
-e^-x <(=) (e^-x) cos(4x) <(=) e^-x

b)en deduire la limite de f en +oo

pareil pas de soucis la dessus:

lim e^-x = 0 donc lim (e^-x) cos(4x) = 0
x --- +oo x --- +oo

2) determiner les coordonnées des points communs aux courbes T et C

aucune idée de comment faire meme si je pense que c'est les points de f images des point ou g coupe l'axe abscysse.
je precise egalement que je n'arrive pas a faire les courbes sur ma calculatrice (je sais pas pourquois ça me fait une droite...)

3) soit la suite (Un) sur N par Un= f(n(Pi/2))
a) montrer que (Un) est géometrique et donner la raison.

apres avoire calculé U1 à U4 je pense que R=1/5
mais je n'arrive pas a le monter.

j'ai essayer de devellopé et j'arrive que a ceci: (e^-n)^Pi/2 (cos 2nPi)

j'espere que vous pourrez me guidez pour que je puisse trouvé
bonne apres midi a tous.

[rene38]

Bonjour

2. Résous l'équation dans IR+ : f(x)=g(x)
Tu dois trouver une infinité de solutions.

3. "je pense que R=1/5" : non

"j'arrive que a ceci: (e^-n)^Pi/2 (cos 2nPi)"
Il doit y avoir une erreur dans la partie en rouge ;
cos 2nPi n'aurait pas une valeur particulière ?

[kiwi251]

salut, deja merci de ta reponse.
ensuite j'ai donc trouvé pour la 2) ceci:
T et C partage des pts communs lorsque: f(x)=g(x)
e^-x = (e^-x)cos(4x)
(e^-x)cos(4x)/e^-x = 1
cos(4x) = 1
4x = 360 [2Pi]
x = 90 [2 Pi]

les point communs a T et C ont pour coordonnées (90[2Pi] ; e^-90[2Pi])


pour la 3)

j'ai trouvé que cos(2nPi)= cos(2Pi) car modulo 2Pi avec k=n
et cos(2Pi) = 1
il reste donc e^-nPi/2
que je n'arrive pas a simplifier pour obtenir quelque chose de forme Q X n
je suis toujours bloqué par cette exponnentiel ....

[kiwi251]

bon je bloque toujours sur ce
e^-nPi/2j'arrive vraiment pas a le mettre sous forme Q X n
j'ai pourtant chercher avec toute les regles de calcule des expo :(

un petit indice pour me mettre sur la voie ?

[rene38]

4x = 360 [2Pi]
x = 90 [2 Pi]

les point communs a T et C ont pour coordonnées (90[2Pi] ; e^-90[2Pi])

Qu'est-ce que c'est que ce mélange de radians (Pi) et de degrés (90, 360).
N'utilise que les radians !
Il serait préférable plutôt que 4x=360[2Pi] d'écrire , k entier
puis x=...
(remarque que modulo 2Pi, 360=0)

3. exact
Maintenant, calcule puis
Dire que la suite est géométrique signifie que ce quotient est indépendant de n :
c'est la raison q de la suite.

[kiwi251]

ok merci bien, donc si j'ai bien compris pour les point on a donc:

.... cos 4x = 1
4x = 2k Pi
x = kPi/2
donc les points ont pour coordonnées ( kPi/2 ; e^-(kPi/2) )

et pour la suite ça donne.
_ Un = e^-(nPi/2)
_ Un+1 = (e^- (n+1(Pi/2)))(cos(4(n+1)Pi/2))
et cos (4n +4)(Pi/2) = cos (4nPi/2 + 4Pi/2) = cos (2nPi + 2 Pi)
= cos (2(n+1)Pi) = 1

donc Un=1 = e^-((n+1)Pi/2) = e^-(nPi/2 + Pi/2) = e^- (nPi+Pi/2)

_ Un+1/Un = (e^-nPi-Pi/2)/(e^-nPi/2) = e^(-nPi-Pi/2)-(-nPi/2)
= e^(-nPi-Pi+nPi)/2 = e^-Pi/2
donc Un = n X e^-Pi/2
donc Un géométrique de raison q = e^-Pi/2

[rene38]

...donc les points ont pour coordonnées ( kPi/2 ; e^-(kPi/2)) Oui
et pour la suite ça donne Un = e^-(nPi/2) Oui

_ Un+1 = (e^- (n+1(Pi/2)))(cos(4(n+1)Pi/2))
et cos (4n +4)(Pi/2) = cos (4nPi/2 + 4Pi/2) = cos (2nPi + 2 Pi)
= cos (2(n+1)Pi) = 1
Tu te compliques la vie :
tu remplaces n par n+1 et tu obtiens

que tu peux écrire soit
et c'est pratiquement fini.

[kiwi251]

ha c'est bon j'ai compris merci beaucoup :happy2:

donc en gros ça donne ça:

-Un = e^-nPi/2

-Un+1 = e^-(n+1)Pi/2 = e^-nPi/2 + (- Pi/2) = e-nPi/2 X e^-Pi/2 = Un x e^-Pi/2

donc Un géo avec q = e^-Pi/2


la suite de mon probleme était de trouvé la variation et la convergence de la suite.

pour ça j'ai fait:

- Un+1 -Un = (e^-nPi/2 X e^-Pi/2) - e^-nPi/2
comme e^-Pi/2 < 1 alors le produit e^-nPi/2 X e^-Pi/2 < e^-nPi/2
donc Un+1 - Un < 0 donc (Un) décroissante.

-lim -nPi/2 = -oo
x --- + oo

donc lim e^-nPi/2 = 0
x --- +oo
donc (Un) converge vers 0.

une autres question était de calculé f '(x) et montrer que T et C on mee tangeante a leur points communs

-la dervivé facile vaut donc: -e^-x ( cos(4x) + 4sin(4x) )

- et comme les pts sont communs en x= kPi/2 avec K € N
alors cos(2kPi) = 1 et 4sin(2kPi) = 0
donc f '(x) = g '(x) donc f(x) = g(x) et ont donc la meme teangeante pour x= kPi/2.

voila :p

encore merci pour votre aide. j'y voit bien plus clair^^

[kiwi251]

rebonjours je vien egalment de repondre a la dernière question a savoir:
donner une valeur approché a 10^-1 pres du coeff directeur de la tangeantea T au point d'abscysse Pi/2

j'ai fait ceci:

y= f '(a)(x-a)+f(a) avec a = Pi/2
y= (-e^-Pi:2)(x-Pi/2) + e^-Pi/2
y ~~ -0.21x -1.89

le coeff directeur est donc ~~ -0.21 au points d'abscysse Pi/2

voila j'espere que c'est juste.

et encore merci a vous pour m'avoire eclairé