Exercice équa' diff' term S

[celia35]

Alors voilà, bac blanc cette semaine: en maths, une catastrophe donc j'ai décidé de refaire le sujet. Le problème c'est que je bloque déjà sur l'exercice 1 sur les équations différentielles:

PARTIE A:
On utilisera le résultat suivant: les solutions de l'équation différentielle y'= ay où a appartient à R sont les fonctions g définies et dérivables sur R par g(x)= K exp(ax) où K appartient à R.
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différencielle.
(E): y'=ay+b où a appartient à R* et b appartient à R.

1) Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)= -b/a est une solution de (E).
2) Soit f une fonction définie de dérivable sur R. Démontrer l'équivalence suivante:
f est une solution de (E) f-u est solution de l'équation différentielle (E0): y'= ay
3) En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)

Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment résoudre cet exercice ce serait vraiment sympa. :euh:
Merci beaucoup!

[XENSECP]

Euh démontrer que u est solution de (E) c'est pas compliqué, si ?

[Jota Be]

Alors voilà, bac blanc cette semaine: en maths, une catastrophe donc j'ai décidé de refaire le sujet. Le problème c'est que je bloque déjà sur l'exercice 1 sur les équations différentielles:

PARTIE A:
On utilisera le résultat suivant: les solutions de l'équation différentielle y'= ay où a appartient à R sont les fonctions g définies et dérivables sur R par g(x)= K exp(ax) où K appartient à R.
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différencielle.
(E): y'=ay+b où a appartient à R* et b appartient à R.

1) Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)= -b/a est une solution de (E).
2) Soit f une fonction définie de dérivable sur R. Démontrer l'équivalence suivante:
f est une solution de (E) f-u est solution de l'équation différentielle (E0): y'= ay
3) En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)

Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment résoudre cet exercice ce serait vraiment sympa. :euh:
Merci beaucoup!

Salut,
Pour le 1, il suffit de remplacer u(x) dans le membre de gauche de (E) et voir que ça fait a(u(x))+b
Pour le 2, on y va en équivalences successives...
Pour la 3, on conclut.

Ca me rappelle aussi de mauvais souvenirs (de début de semaine) parce que j'avais oublié une constante et ai dérivé en considérant une fonction composée au lieu d'un produit... bref

[celia35]

Salut,
Pour le 1, il suffit de remplacer u(x) dans le membre de gauche de (E) et voir que ça fait a(u(x))+b
Pour le 2, on y va en équivalences successives...
Pour la 3, on conclus.

Ca me rappelle aussi de mauvais souvenirs (de début de semaine) parce que j'avais oublié une constante et ai dérivé en considérant une fonction composée au lieu d'un produit... bref

Merci de ton aide. C'est vrai que ça à l'air tout bête comme ça... J'ai pris notes et je vais essayer de terminer l'exercice. Encore merci!

[Jota Be]

Merci de ton aide. C'est vrai que ça à l'air tout bête comme ça... J'ai pris notes et je vais essayer de terminer l'exercice. Encore merci!

Ce n'est rien ! Pour la deux, montre que f-u solution de (E0) équivaut à f'-af=u'-au pour en déduire que f est solution de (E)

[celia35]

Ce n'est rien ! Pour la deux, montre que f-u solution de (E0) équivaut à f'-af=u'-au pour en déduire que f est solution de (E)

Bon, j'y arrive toujours pas...
Pour la 1) j'ai u'(x) = a(u(x))+b mais je vois pas trop en quoi ça m'aide à trouver que u(x)= -b/a est solution de y' = ay+b. Sauf si je dis que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme y = C exp(ax) -b/a, dans ce cas là j'ai u(x)= C exp(ax)-b/a donc u(x)= -b/a est solution de (E) pour C = 0. Mais je suis pas sûre qu'il faille raisonner comme ça...

Pour la 2) maintenant. On démontre d'abord que f-u est solution de (E0) puis avec des équivalences successives on montre que f est solution de (E). Donc on a, si f-u est solution de (E0):
(f-u)' = a(f-u)
f'-u' = af - au
f'-af = u' - au
On montre maintenant par équivalences successives que f' = af + b et on a montré que u solution de y' = ay + b donc on a aussi u' = au + b.
Bon, je reprends: f' - u' = af - au f'= af - au + u'
f' = af -au + (au + b)
f' = af + b
Donc f est bien solution de (E).
Après avoir fait la démonstration dans ce sens, je dois la démontrer dans l'autre sens?

Pour la 3) par contre, pour conclure je vois pas trop le lien entre u(x)= -b/a et f mis à part que ce sont des solutions de (E)...

[Jota Be]

Bon, j'y arrive toujours pas...
Pour la 1) j'ai u'(x) = a(u(x))+b mais je vois pas trop en quoi ça m'aide à trouver que u(x)= -b/a est solution de y' = ay+b. Sauf si je dis que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme y = C exp(ax) -b/a, dans ce cas là j'ai u(x)= C exp(ax)-b/a donc u(x)= -b/a est solution de (E) pour C = 0. Mais je suis pas sûre qu'il faille raisonner comme ça...

Pour la 2) maintenant. On démontre d'abord que f-u est solution de (E0) puis avec des équivalences successives on montre que f est solution de (E). Donc on a, si f-u est solution de (E0):
(f-u)' = a(f-u)
f'-u' = af - au
f'-af = u' - au
On montre maintenant par équivalences successives que f' = af + b et on a montré que u solution de y' = ay + b donc on a aussi u' = au + b.
Bon, je reprends: f' - u' = af - au f'= af - au + u'
f' = af -au + (au + b)
f' = af + b
Donc f est bien solution de (E).
Après avoir fait la démonstration dans ce sens, je dois la démontrer dans l'autre sens?

Pour la 3) par contre, pour conclure je vois pas trop le lien entre u(x)= -b/a et f mis à part que ce sont des solutions de (E)...

Bon, on va dire que tu as fait la moitié du chemin =)
Pour la 1, qu'est-ce qui te pose problème ?
La démonstration de la 2 est bonne, rien à changer : des équivalences permettent d'assurer la réciprocité de la démo, ce qui n'est pas le cas lorsqu'on travaille par implications successives.
Attention cependant, certaines démo exigent une démo réciproque.
Pour la trois, tu sais que f-u est solution de (E0) or les solutions de (E0) sont triviales donc (f-u)(x)=... et ainsi f(x)=...

[Jota Be]

Autant pour moi, est bien solution donc il n'y a aucun problème de ce côté-ci.

[celia35]

Bon, on va dire que tu as fait la moitié du chemin =)
Pour la 1, qu'est-ce qui te pose problème ? Et puis d'ailleurs, quelle est l'expression exacte de u(x) ? Parce que la dérivée d'une constante est nulle, tu le sais bien...
La démonstration de la 2 est bonne, rien à changer : des équivalences permettent d'assurer la réciprocité de la démo, ce qui n'est pas le cas lorsqu'on travaille par implications successives.
Attention cependant, certaines démo exigent une démo réciproque.
Pour la trois, tu sais que f-u est solution de (E0) or les solutions de (E0) sont triviales donc (f-u)(x)=... et ainsi f(x)=...

Je crois que le problème pour la 1), c'est que je comprends pas à quel résultat je dois arriver pour trouver que u(x) = -b/a est solution de y' = ay+b... Et l'expression de u(x) c'est -b/a et C exp(ax) -b/a . Maintenant, ça dépend de ce que tu entends par exacte. ^^
Pour la deux je suis soulagée. J'aurais au moins réussi à faire quelque chose ce soir!
Et pour la trois: (f-u)' = a (f-u) donc (f-u) = C exp(ax) alors (f) = C exp(ax) + u sachant que u= -b/a
Donc les solutions de l'équation c'est f(x)= C exp(ax) -b/a

[Jota Be]

Je crois que le problème pour la 1), c'est que je comprends pas à quel résultat je dois arriver pour trouver que u(x) = -b/a est solution de y' = ay+b... Et l'expression de u(x) c'est -b/a et C exp(ax) -b/a . Maintenant, ça dépend de ce que tu entends par exacte. ^^
Pour la deux je suis soulagée. J'aurais au moins réussi à faire quelque chose ce soir!
Et pour la trois: (f-u)' = a (f-u) donc (f-u) = C exp(ax) alors (f) = C exp(ax) + u sachant que u= -b/a
Donc les solutions de l'équation c'est f(x)= C exp(ax) -b/a

Non, il faut que tu montres que la fonction u(x) que l'on te propose est bien une solution de (E) : il s'agit d'une simple vérification.
Pour la trois, je pense que c'est bon

PS : en ce qui concerne "l'expression exacte de u(x)", je me suis embrouillé tout seul. Mon cerveau n'apprécie pas la philo

[celia35]

Non, il faut que tu montres que la fonction u(x) que l'on te propose est bien une solution de (E) : il s'agit d'une simple vérification.
Pour la trois, je pense que c'est bon

PS : en ce qui concerne "l'expression exacte de u(x)", je me suis embrouillé tout seul. Mon cerveau n'apprécie pas la philo

Donc pour la 1), j'ai juste à dire que u' = au + b donc la solution c'est u(x) = C exp(ax) -b/a donc u(x) = -b/a est bien une solution de (E). Et c'est tout??

Tu t'embrouilles peut-être avec la philo mais moi, tu as dû le remarquer, c'est avec les maths que je m'embrouille!

[Jota Be]

Tu t'embrouilles peut-être avec la philo mais moi, tu as dû le remarquer, c'est avec les maths que je m'embrouille!

Oui ok, je disais juste que mon cerveau n'en peut plus parce que j'ai eu 6 heures de philo aujourd'hui :dodo: j'en peux plus, il me fallait des maths, mais je suis trop fatigué pour réfléchir correctement. Yeahhh

Donc pour la 1), j'ai juste à dire que u' = au + b donc la solution c'est u(x) = C exp(ax) -b/a donc u(x) = -b/a est bien une solution de (E). Et c'est tout??

Non, tu n'as qu'à remplacer y dans le membre de gauche, ça fait (u(x))'=(-b/a)'=0
Or tu remarques que dans le membre de droite, a(u(x))+b=a(-b/a)+b=-b+b=0 donc il y a bien égalité et la fonction u(x) satisfait l'équation : elle est solution de l'équation (E)

[celia35]

Oui ok, je disais juste que mon cerveau n'en peut plus parce que j'ai eu 6 heures de philo aujourd'hui :dodo: j'en peux plus, il me fallait des maths, mais je suis trop fatigué pour réfléchir correctement. Yeahhh

Non, tu n'as qu'à remplacer y dans le membre de gauche, ça fait (u(x))'=(-b/a)'=0
Or tu remarques que dans le membre de droite, a(u(x))+b=a(-b/a)+b=-b+b=0 donc il y a bien égalité et la fonction u(x) satisfait l'équation : elle est solution de l'équation (E)

Ah, pas mal les 6h de philo! J'ai plus d'excuse à côté de ça!

Bon, j'y étais presque.. Tu m'as bien aidée, merci beaucoup!

[Jota Be]

Ah, pas mal les 6h de philo! J'ai plus d'excuse à côté de ça!

Bon, j'y étais presque.. Tu m'as bien aidée, merci beaucoup!

Tu as réussi au moins, j'espère. Bonne nuit, et bonne continuation.

Oui, 4h de bac blanc plus deux heures de cours ça mine le moral, par contre ma soeur a adoré, je comprendrai jamais les filles...

[globule rouge]

Tu as réussi au moins, j'espère. Bonne nuit, et bonne continuation.

Oui, 4h de bac blanc plus deux heures de cours ça mine le moral, par contre ma soeur a adoré, je comprendrai jamais les filles...

Comme si toutes les filles aimaient la philo ;p