Exercice: encadrement avec la fonction ln

[nadou31]

Bonjour,
J'ai un devoir à faire mais je bloque sur une question:

On pose vn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n)
Montrer que quel que soit n: ln[(2n+1)/n](plus petit ou égal)vn(plus petit ou égal à)ln2 grâce à: 1/(p+1)(plus petit ou égal)ln(p+1)-lnp(plus petit ou égal)1/p valable pour tout p naturel non nul.

Il me semble que pour tout entier n(sup ou égal à)1:
n+1(plus petit ou égal)2n 1/(n+1)(plus grand ou égal)1/2n donc: n/2n(plus petit ou égal)vn(plus petit ou égal)n/(n+1)1/2 ce qui équivaut à vn(plus petit ou égale à)n/(n+1) pour tout n(sup ou égale)1.
Posons p=n, on a donc: 1/(n+1)(inf ou égal)n[(p+1)/p](inf ou égale)1/p...

Après, je ne vois pas ce qu'il faut faire et je ne sais même pas si je suis sur la bonne voie...Qu'en pensez vous?

Merci pour votre aide.

[ned aero]

salut,

ton énoncé semble incohérent entre les hypothèses et ce qu'il faut montrer...

"Montrer que quel que soit n: ln[(2n+1)/n](plus petit ou égal)vn(plus petit ou égal à)ln2 grâce à: 1/(p+1)(plus petit ou égal)ln(p+1)-lnp(plus petit ou égal)1/p valable pour tout p naturel non nul."

à mon avis c'est:

"Montrer que quel que soit n: ln[(2n+1)/(n+1)](plus petit ou égal)vn(plus petit ou égal à)ln2 grâce à: 1/(p+1)(plus petit ou égal)ln(p+1)-lnp(plus petit ou égal)1/p valable pour tout p naturel non nul."

A toi de vérifier, dommage on a perdu du temps...

[nadou31]

non, c'est bien: ln[(2n+1)/n](plus petit ou égal)vn(plus petit ou égal à)ln2

[ned aero]

comme 1/(p+1) ln(p+1) - ln(p)

on a :

1/(p+1) ln(p+1) - ln(p)

1/(p+2) ln(p+2) - ln(p+1)

1/(p+3) ln(p+3) - ln(p+2)
.
.
.
1/(p+p) ln(p+p) - ln(p+p-1) = 1/(2p) ln(2p) - ln(2p-1)

on additionne toutes les lignes et on a:

Vn ln(p+1)-ln(p)+ln(p+2)-ln(p+1)+ln(p+3)-ln(p+2)+..+ln(2p) - ln(2p-1)

Vn ln(2p) - ln (p) ==> Vn ln(2p/p) ==> Vn ln2


A toi de faire l'autre partie de l'inégalité...

[nadou31]

Pour l'autre partie de inégalité, je ne trouve pas du tout mais merci beaucoup pour votre aide.