Exercice douteux?

[Bastien L.]

Bonjour,


J'ai à vous soumettre un exercice que nous avons corrigé ce matin en cours. Pas parce-que je dois moi-même le faire, donc, mais parce-qu'il me parrait "douteux" en certains points, au moins un, au mieux à cause d'une petite ellipse dans l'énoncé… C'est la conclusion à laquelle je suis arrivé après avoir été tracassé un moment, et j'ai besoin d'avoir des avis différents, différentes réactions.

Lois continues - exemple d'application concrète

A. Préambule

Dans un arbre se trouvent 1001 corbeaux. Un vil chasseur en tue 1. Combien en reste-t-il?


B. Mise en oeuvre

Des corbeaux ont élu domicile dans un arbre. Lors d'une alerte (à t=0), tous s'en vont. La probabilité que l'arbre soit à nouveau occupé (par au moins 1 corbeau) entre les temps t1 et t2, en minutes (0<ou=t1<2) est donnée par la formule:


1. Déterminer la probabilité qu'au moins un corbeau soit revenu au bout de 2 minutes.
2. En déduire le pourcentage de corbeaux de retour sur la branche au bout de 2 minutes.
3. En arrondissant au corbeau supérieur, déterminer le temps (à la seconde près) à partir duquel les 100 corbeaux effrayés seront revenus sur l'arbre.

Voilà! Évidemment, le préambule est humoristique. Ce n'est donc pas un problème si les valeurs numériques ne coincident pas dans les deux parties, qui n'ont pas de rapport effectif.

Donc, s'il-vous-plaît,
• Comprenez-vous le sujet, sinon, pourquoi?
• Vous semble-t-il correct et complet, sinon comment le corrigeriez-vous?
• Éventuellement, si vous avez le temps, comment résolvez-vous chacune des questions?

Merci beaucoup! :happy2:

[nuage]

Salut,
je comprend bien la question 1.
Il n'y a pas de problème pour calculer la probabilité pour qu'il y ai au moins un corbeau qui revienne sur l'arbre entre les instants 0 et t. Cette proba est croissante avec t et reste inférieure à 1. Elle a d'ailleurs 1 pour limite à l'infini.

La question 2 est parfaitement compréhensible, mais il est impossible d'y répondre avec les données de l'énoncé. Je crois qu'il faut au moins rajouter que les corbeaux reviennent indépendamment les uns des autres (ce qui est contraire à l'expérience courante, mais bon on est en maths pas en biologie...).
Dans ce cas le nombre de corbeaux sur l'arbre suit une loi binomiale et

Comme on connait (100 ou 1000, je crois que tu fis une faute de frappe) on peut en déduire la probabilité de retour d'un corbeau donné avant le temps . Et faire le calcul demandé.

La question 3 n'a pas de sens : que les corbeaux soient 100 ou 1000 il me semble difficile de donner un temps en corbeaux. Sauf si le corbeau est une unité de temps. Ce qui me surprendrais, mais je ne sais pas tout.

[Bastien L.]

Bonsoir, Nuage, et merci! :-)


Pour la question 3, il y a effectivement une faute de langue, mais qui à mon avis ne cache pas de plus grave erreur. Il a voulu dire "en considérant que tout corbeau commencé est dû" (oui, on peut rire. ^^), en gros, pour repasser du continu au discret, on considère que 95,01 corbeaux représentent 100 corbeaux (ce qui a sémantiquement été analysé comme "si un corbeaux pose une petite partie de lui-même, on considère qu'il est arrivé".

Pour la question 2, je sais, j'en demande beaucoup, mais, si tu en as le temps, pourrais-tu la résoudre ici? Parce-que tu ne l'abordes pas comme ce que nous avons fait en cours (et que je trouve douteux, mais je préfère ne pas l'exposer ici maintenant pour ne pas influer sur le cours de la discussion)… Cependant, c'est peut-être moi qui n'ai pas encore fait une connexion…


D'avance, merci… :-)

[nuage]

Mon approche de la question 2 est douteuse, comme l'énoncé. Et je ne suis pas certain de réussir à faire les calculs, en tout cas pas ce soir. Une approche peut-être plus vraisemblable serais de dire que la formule donne la probabilité pour qu'un corbeau donné se pose sur l'arbre entre les instant t1 et t2 (si il ne s'est pas posé avant)

Pour la question 3 il y a plus qu'une erreur de langue, quoiqu'elle soit gênante : quelque soit la manière dont on interprète l'énoncé la probabilité pour que l'arbre soit vide n'est jamais nulle.

[Bastien L.]

Merci pour cette nouvelle réponse.

Je ne vois pas en quoi ce dernier point pose problème.
Je lirai avec un grand intérêt tout ce que tu écriras de plus pour la question 2… :-)

[nuage]

3. En arrondissant au corbeau supérieur, déterminer le temps (à la seconde près) à partir duquel les 100 corbeaux effrayés seront revenus sur l'arbre.

Ce temps n'existe pas : on peut calculer un temps tel que, quelques soient les hypothèses, on a au moins 100 corbeaux sur l'arbre avec une probabilité supérieure à quelque soit , mais il me semble impossible (à partir de l'énoncé) de déterminer un instant où cette probabilité serait égale à 1.

[Bastien L.]

Pour le résoudre, le prof a consdidéré qu'il suffisait de prendre la probabilité pour que plus de 99 corbeaux se soient posés ("Si un corbeau a posé juste une patte, alors on considère qu'il s'est posé."). Donc, on l'a résolu sous forme d'inéquation. Mais c'est déjà dès la 2) que je décroche… ^^

[nuage]

Salut,
En fait je crois que viens de comprendre l'exercice : il ne s'agit pas de probabilité.
Les corbeaux arrivent dans un ordre aléatoire (peut-être) mais à des instants strictement déterminés par
pour le -ième corbeau à se poser.

La proportion des corbeaux posés au bout de 2 min est donc

Et la réponse à la question 1) évidement que la probabilité d'avoir au moins un corbeau à l'instant t strictement positif est 1 (c'est une certitude, puisqu'un corbeau commence à se poser à l'instant t=0)

En gros je dirais que c'est un exercice qui confond proportion (déterministe) et probabilité.

[Bastien L.]

Bonjour!

Et la réponse à la question 1) évidement que la probabilité d'avoir au moins un corbeau à l'instant t strictement positif est 1 (c'est une certitude, puisqu'un corbeau commence à se poser à l'instant t=0)

Ce n'est pas ce que donne la "formule" avec l'exponentielle... C'est bizarre...

Pour le reste, j'arrive à la même conclusion que toi, je pense, mais je crois qu'il manque cette phrase: "On part du principe que les corbeaux n'ont pas de personnalité propre, et que donc les conditions extérieures, tel le nombre de ses congénères déjà sur l'arbre, n'influent pas sur sa décision. Ainsi, chaque corbeau a à chaque instant exactement la même probabilité que chacun de ses congénères d'être revenu sur l'arbre.", qui nous permettrait de passer formellement de la "formule" donnée à la probabilité individuelle pour un corbeau donné...

Quand-même, il est bizarre, cet exercice! On voit maintenant que même la 1 est délicate!

[Bastien L.]

C'est bizarre, ce passage du discret au continu: tu dis que la probabilité d'avoir au moins un corbeau pour un instant de date t>0 est de 1... parce-que la formule dis qu'elle est différente de zéro...? C'est horrible, cet exo! Help! ^^

[nuage]

Il me semble en effet horrible :
mais je ne vois pas comment comprendre autrement ceci

Pour le résoudre, le prof a consdidéré qu'il suffisait de prendre la probabilité pour que plus de 99 corbeaux se soient posés

il y a une confusion entre proportion et probabilité (au mieux), j'aimerais bien voir le corrigé, si possible.

Sinon voilà ce que ça donne avec ma première interprétation :

• Il y a 100 corbeaux.
• La probabilité pour qu'il y ait au moins un corbeau qui se soit posé à la date t est égale à
• Les corbeaux se posent de façon indépendantes et aléatoires. La probabilité pour qu'un corbeau donné se soit posé avant l'instant ne dépend que de . Je la noterais

Sous ces conditions le nombre de corbeaux posés à l'instant t suit une loi binomiale de paramètres 100 et .
On peut calculer en remarquant que d'où

La question 1 ne pose pas de problème
La question 2 peut-être interprété comme : donner l'espérance de soit
Mais la question 3 est impossible.

Je me suis demandé si on avait pas plutôt mais ça ne change rien au problème de la question 3.

Donc ce genre d'interprétation ne convient pas.

En tout état de cause je ne vois aucune interprétation probabiliste qui permette de calculer l'instant où tout les corbeaux sont de retour. Ce qui ne veut pas dire qu'il n'y en ai pas...
Raison pour la quelle j'aimerais voir le corrigé.

[Bastien L.]

Salut!

Merci en tous cas de ton attention et de tes réponses. Je demanderai à notre professeur de m'envoyer un corrigé précis. Et pourquoi personne d'autre ne s'exprime-t-il? Jugent-ils que j'ai tort et que donc rien ne sert de répondre (mais dans ce cas ça m'intéresserait bien de le savoir!) ou alors que cet exercice est si bancale qu'il n'y a rien à dire de plus (mais, même remarque...)?

[nuage]

Salut!

Merci en tous cas de ton attention et de tes réponses. Je demanderai à notre professeur de m'envoyer un corrigé précis. Et pourquoi personne d'autre ne s'exprime-t-il? Jugent-ils que j'ai tort et que donc rien ne sert de répondre (mais dans ce cas ça m'intéresserait bien de le savoir!) ou alors que cet exercice est si bancale qu'il n'y a rien à dire de plus (mais, même remarque...)?

Je me pose la même question.
Et je te remercie d'avoir soumis cet exercice, il me semble caractéristique des mauvais traitements que mes collègues (surtout ceux qui ont mon age, qui est avancé) font subir aux probabilités.

[uztop]

Salut,

il est effectivement très bizarre cet exo; comme nuage j'ai l'impression que la question 3 n'a pas de sens. On peut attendre aussi longtemps qu'on voudra, on ne pourra jamais être sur à 100% qu'un seul corbeau soit revenu ...
Une question qui aurait un sens serait: au bout de combien de temps, la probabilité que tous les corbeaux soient revenus est supérieure à 99 % ? (je suppose que c'est à cette question que ton prof a répondu d'après ce que tu as écrit)

Pour nuage, à propos de ton âge avancé, j'ai vu qu'il n'y a pas eu de topic pour ton anniversaire hier (je me suis connecté trop tard pour le créer), donc je te souhaite un bon anniversaire ici! Sinon, je vois que tu es prof, en quel niveau ?

[Bastien L.]

Bonjour Uztop,


Merci pour la réponse. Pour info, notre professeur n'est pas d'un âge avancé. ^^ Mais il a lui-même créé cet exercice, il a dû aller trop vite, et donc... voilà, quoi...

N'empêche, je ne pourrai mettre un point final sur l'affaire que quand je saurai exactement ce qui est juste et ce qui est faux (ou même absurde) et pourquoi, c'est légitime... ^^

Pour la dernière question, je ne sais plus si je l'ai déjà écrit, on a considéré que "tout corbeau ayant posé une partie de lui-même est posé", et donc on a résolu la question avec une inéquation (Quand est-ce que le nombre de corbeaux posés est strictement supérieur à 99.).

[uztop]

le problème, c'est qu'on a affaire à des probabilités, on ne peut pas savoir quand 99 corbeaux se seront posés.
En prenant la formule que tu donnes au début, la probabilité qu'au moins un corbeau se soit posé entre le début de l'observation et un certain temps T est égale à .
Certes P tend vers 1 quand T tend vers l'infini (il tend d'ailleurs très vite vers 1), mais P n'est jamais égal à 1: il existe toujours une proba (infime) qu'aucune corbeau ne soit revenu même après avoir attendu des heures.
Bref, je suis curieux de voir la correction

[Bastien L.]

Pour info, j'ai un peu mieux formalisé ce que j'essayais de vous dire tout-à-l'heure sur la manière - sans doutes fausse - que le professeur a essayé d'utiliser pour résoudre l'exercice:

Le but recherché est d'assimiler la probabilité qu'au moins un corbeau soit revenu dans l'arbre à la probabilité pour un corbeau quel qu'il soit d'être revenu dans l'arbre (...)

-> Question: Est-ce que cela devient juste si l'on écrit dans l'énoncé "Les corbeaux n'ont pas de personnalité propre et sont insensible au nombre de corbeaux déjà revenus dans l'arbre. Ainsi, chaque corbeau a la même probabilité à chaque instant que n'importe lequel de ses congénères d'être revenu dans l'arbre?
Après débat avec notre professeur, il est établi que c'est comme cela qu'il envisage la chose, et qu'il l'envisageait à l'écriture du sujet.


(...) et ensuite au pourcentage de corbeaux revenus dans l'arbre à chaque instant. (louche!) Là, ça me parait faux: si l'on considère que tout corbeaux ayant commencé à poser une partie de lui-même est posé, ça veut dire que pour tout instant de date supérieure à 0 on a au moins un corbeau sur l'arbre. Donc, la probabilité énoncée au tout début pour qu'au moins un corbeau soit revenu dans l'arbre est toujours égale à 1. Ce qui esrt contradictoire. Groumf! Il y a forcément un mauvais traitement des données quelque-part, et il semble que ce soit au moins au moment de cette dernière assimilation.

[nuage]

l a probabilité qu'au moins un corbeau soit revenu dans l'arbre[/U] à la probabilité pour un corbeau quel qu'il soit d'être revenu dans l'arbre (...)

Ceci me semblais évident. D'où l'usage que je fis de la loi binomiale.
Mais dans le cadre de cette interprétation les proba portent sur le nombre de corbeaux posé (c'est ma première interprétation) et non sur l'instant d'arrivé des corbeaux .
En fait la question 3 (si il est possible d'y répondre) exclu que le nombre de corbeaux posé à l'instant t soit aléatoire.

[Bastien L.]

C'est peut-être évident à condition de prendre en compte la remarque sur la personnalité des corbeaux que j'ai écrite. Sinon, non...

Pour la question 3, je suis d'accord avec toi, en fait, elle n'a rien à faire ici, elle est absolument insoluble, du fait que nous sommes dans une situation probabiliste et non déterministe.

Et je pense même que de chercher à la résoudre nous amène nécessairement à être dans l'absolument faux: si on considère que ce n'est pas probabiliste mais déterminé par la courbe préalablement établie, alors la probabilité pour l'arbre d'être occupé à tout instant est de 1 (!!!!!!!). On cherche tous les moyens possibles et envisageables pour faire une énormité qu'on ne PEUT pas faire...

[Bastien L.]

En gros, je crois qu'on confond des pourcentages de probabilités avec des pourcentages de corbeaux. La seule question qu'on pourrait se poser serait "À partir de quand est-ce raisonnable de considérer qu'ils sont tous revenus?", mais alors il faut déterminer arbitrairement une limite du "raisonnable". Déjà, ça aurait beaucoup moins de prétentions, et ce serait bcp réaliste, je pense! ^^