Exercice divisibilité et congruences dans Z

[Fleykha]

Bonjour,

A la rentrée des classes j'ai mon bac blanc, alors je m'entraîne à faire des exercices, mais là j'en ai trouvé un que je ne n'arrive pas à bien faire. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour certaines questions ?

Voici l'énoncé :

On se propose de trouver le jour de la semaine associé à une date donnée. Pour cela, on utilise le calendrier depuis le 20 décembre 1582.
On rappelle que le mois de février compte 29 ou 28 jours, selon que l'année est bissextile ou non. Une année est bissextile lorsque son millésime A est un multiple de 400 ou lorsque A est un multiple de 4 sans être un pultiple de 100 (ainsi 1900 n'est pas bissextile).

1. a et b désignent deux entiers naturels avec b;)0. q est le quotient de la division euclidienne de a par b.

Démontrer que q= E(a/b).

2. On note B le nombre d'années bissextiles qui ont précédé strictement l'année A depuis la date fictive du 1er janvier de l'an 1. (qui va nous servir d'origine des dates).

a) Démontrer que:

B= E((A-1)/4) - E((A-1)/100) + E((A-1)/400).

b) Démontrer que le nombre N de jours dans les années qui précèdent l'année A est donné par:
N= B +365(A-1).

c) On note (J ; M ; A) une date : J entre 1 et 31, M entre 1 et 12, A l'année (avec A;)1582)

Comment calculer le nombre R de jours entre les dates (1 ; 1 ; A) et (J ; M ; A) (ces deux jours compris) ?

d) Le nombre N de jours entre les dates (1 ; 1 ; 1) et (J ; M ; A) est donc : N=R+B+365(A-1)

Vérifier que N;) A - 1 + B + R [7].

e) En sachant que le 1er janvier 2003 est un mercredi, vérifier que le nombre N associé à mercredi vérifie: N;)3[7].

3. a) Quel jour de la semaine était le 14 juillet 1789?
b) L'acte V de Cyrano de Bergerac se déroule en septembre 1655. Edmond Rostand écrit: "Et samedi 26, une heure avant dîner, Monsieur de Bergerac est mort assassiné." Le 26 septembre 1655 était-il un samedi?


J'ai réussi les questions 1, 2d, 2e, 3a et 3b. Mais, pour les questions 2a, 2b je comprends comment expliquer le résultat à démontrer mais je n'arrive pas à les démontrer, et pour la 2c, je ne sais pas trop si on doit faire cela :
si M= 1 => R=J
si M= 2 => R=31+J
si M= 3 => R=31+28/29+J etc...
Pour cette question que pensez vous que l'on doit faire exactement ? Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance

[Fleykha]

S'il vous plait ...