Exercice difficile sur les primitives

[Lyon112233]

Bonjour, j'ai un exercice à rendre et j'ai quelques difficulté car c'est un exercice dit "difficile" par le livre (2 étoiles sur 3).


Voici l'énoncé et les questions :

B f est la fonction défini sur R par : f(x) = [ln(x^2 +1)]/x si x différend de 0 et f(x) = 0 si x=0
Cf est sa courbe dans un repère orthonormal (0;i;j).

1 : Démontrer que f est dérivable en 0. Etudier ses variations et préciser sa limite en +00
2 : Prouver que pour tout réel x supérieur à -1, ln(1+x) inférieur ou égal à x. Déduisez en la position relative de Cf et de sa tangente en 0. Tracez Cf.


C F est la fonction défini sur R par x : intégrale de 0 à x f(t)dt

1 : r désigne un réel strictement positif fixé ; prouver que F(r) et F(-r) sont les aires de domaines isométriques du plan. Déduisez-en la parité de F. Indiquer les variations de F sur [0; +00[.
2 : Utilisez la position de Cf par rapport à sa tangente en 0 pour prouver que 0 inférieur ou égal à F(1) inférieur ou égal à 1/2.
3 : Démontrer que pour tout réel t supérieur ou égal à 1 : [ln(t^2)]/t inférieur ou égal à [ln(t^2 +1)]/t inférieur ou égal à [ln(2t^2)]/t
4 : Lorsque x supérieur ou égal à 1, calculer l'intégral de 1 à x [ln(t)]/t puis déduisez-en les limites de F(x) et [F(x)]/x en +00.
5 : Donner l'allure de la courbe de F (Prener F(1) environ égal à 0,4)



Merci d'avance pour votre aide parce que là, je suis vraiment bloqué au début ce qui m'empèche de faire la suite !

[Mikou]

1°) utilisation du nombre derivé de ln(x²+1) en 0 lequel vaut 0, f est continue, la derivé a une limite en 0
2°) etude de fonction ou utiliser la fait que f est concave donc en dessous de sa tangente en 0 qui a pour equation y=x
nb : tu ecris ici ln(1+x) est tu sur que ce n'est pas ln(1+x²) ?
3°)

a- f impaire => en utilisant chasles
=>
soit
F(-r) = F(r)

b- la tangente est x comme la fonction est concave sur IR + c'est gagné tu integre de 0 a 1 x tu trouve 1/2 ..

c- simple

d- par une ipp on montre quune primtive de ln(x)/x = 0,5*(ln(x)^2) dont la lim est +inf en + inf => de meme pour F(x) en utilisant le th des gendarmes

pour la fin je te laisse chercher un ptit peu, sinon c'est pas drole :happy:

[Lyon112233]

Merci beaucoup, cela m'a bien aidé mais il me reste quelques difficultés :

- je n'arrive pas à trouver la dérivé de [ln(x^2 +1)]/x
- j'ai de gros problème pour arriver à la priminite de de f(t) ( f(t)= [ln(t^2 +1)]/t )

Peut-tu m'eclaircir s'il te plait ou alors me donner le résultat final sans les étapes intermédiaires que je chercherais moi même.

Merci

[allomomo]

Salut,

1 -




2 - On ne connait pas de primitive, essaye avec l'intégration par parties mais je ne suis pas sur que ca marchera!

[Mikou]

Il n'est jms demandé de calculer une primitive de f ... je fais tt lexo je en vois pas pk tu veux la calculer :hum:

[Lyon112233]

Ah oui, tu as raison, désolé ! :dodo: :++:

J'ai une dernière question, pouvez-vous m'aider pour les variations de f (question B 1) parce que je n'arrive pas à démontré ces variations (j'ai la réponse gràce à la calculette mais je n'arrive à le trouver avec les calculs).
J'arrive pas non plus à trouver avec les calculs la limite de f en +00 (je sais que c'est 1 avec la calculette mais je n'arrive pas non plus à le montrer avec des calculs).


Merci une nouvelle fois de votre aide

[Lyon112233]

S'il vous plait, aidez-moi pour la question B)1 : je n'arrive pas trouver avec les calculs les variations de f(x) et sa limite en +00 !

MERCI d'avance pour votre aide qui me sera précieuse ! :we: