Exercice dérivé

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 09:46

bonjour tout le monde! voila, j'ai un dm à rendre et je n'arrive pas trop, si quelqu'un pourrait m'aider je les remercie!

voici l'énoncé:

1) Calcul d'une limite fondamentale. Soit M un point du cercle trigonométrique, situé sur le quart du cercle AB, et x la longueur de l'arc de cercle AM (comprise entre 0 et 2/PI)

a) Montrer que l'aire du secteur du disque limité par les points O, A et M et égale à x/2
b) On admet que l'aire du secteur du disque OAM est comprise entre lm'aire du triangle OAM et celui de OAT.
Déduire que sin x < x < tan x
c) En déduire que cos x < sinx/x < 1
d) En utilisant la parité des fonctions, en déduire que si M appartient au quart de cercle AC, on a la relation:
cos x < sinx/x < 1
e) En déduire la valeur de la limite qui tend vers 0 de sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques.
f) En déduire que la fonction sinus est dérivable en 0. Donner la valeur de son nombre dérivé en ce point. Que peut-on conclure pour la courbe de la fonction sinus au voisinagede 0?

2) Détermination de la fonction dérivé de la fonction sinus.

a) Ecrire la définition du nombre dérivé en x de la fonction sinus.
b) En utilisant la formule trigonométrique :
sina - sinb = 2sin (a-b/2) cos ( a+b/2)
prouver que:
sin(x+h)-sin x/h = (sin h/2)/(h/2) cos(x+ h/2)

c) En déduire que la fonction sinus ets dérivable sur R (réel), puis donner sa dérivée.

3) En utilisant cos x = sin ( Pi/2 -x), déduire de la question 2 la dérivée de la fonction cosinus.

voici donc l'énoncé qui est un petit peu long dsl, mais je suis completement perdu merci pour votre aide

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 11:35

concour! pour la a) j'ai commencer à faire:

faut commencer par l' aire d' un secteur de disque.
Pour un secteur de rayon donné (ici 1):
L' aire d' un tel secteur est proportionnelle à la longueur de l' arc intercepté. (ici x).
L' aire d' un disque de rayon 1 est .L' arc intercepté à pour longueur
Appelons A l' aire cherchée:

A correspond à l' aire d' un secteur interceptant un arc de longueur x
correspond à l' aire d' un secteur interceptant uun arc de longueur

il reste plus qu' a faire une règle de trois.

quelqu'un à une idée pour les questions d) e) et f)? j'ai plus spécialement de mal à les faire

par **fonfon** » 16 Mar 2007, 14:03

salut,

1) a)

l'aire du secteur du disque limité par les points O, A et M est proportionnelle à x et le secteur est complet pour x =

En radians , la mesure x de l'angle au centre est la mesure de l'arc AM

ici, le rayon R vaut 1 donc l'aire du disque vaut

donc l'aire du secteur vaut

b) il faut que tu projète le point M sur l'axe des abscisses pour pouvoir calculer l'aire du triangle OAM on l'appelle H donc

de même

or on te dit que

On admet que l'aire du secteur du disque OAM est comprise entre lm'aire du triangle OAM et celui de OAT.

donc

d) En utilisant la parité des fonctions, en déduire que si M appartient au quart de cercle AC, on a la relation:
cos x < sinx/x < 1

rappel: cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x)

ça ne devrait pas te poser de problème ici

e) En déduire la valeur de la limite qui tend vers 0 de sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques.

il suffit d'appliquer le theoreme des gendarmes à la double inegalité trouver au d)

f) En déduire que la fonction sinus est dérivable en 0. Donner la valeur de son nombre dérivé en ce point. Que peut-on conclure pour la courbe de la fonction sinus au voisinagede 0?

c'est du cours

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 17:29

merci oui j'ai réussi les questions jusqu'à la d) mais par contre j'ai jamais vu le théorème des gendarmes dsl...ou bien je ne m'en souviens plus. tu pourrait m'aider stp? merci

par **fonfon** » 16 Mar 2007, 17:41

d) mais par contre j'ai jamais vu le théorème des gendarmes dsl...ou bien je ne m'en souviens plus. tu pourrait m'aider stp? merci

A mon avis tu ne t'en souviens plus

tu sais que cos x < sinx/x < 1

donc dejà tu as que sin(x)/x<1 de plus

d'apres le theoreme des gendarmes (ou de l'hopital)

on a:

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 17:45

dsl j'ai pas compri se que tu a voulu dire: \Large\lim_{x\to0}cos(x)=cos(0)=1
merci

et oui même là je m'en souviens pas de ce théorème, peut-être l'ais-je vus mais sans l'appeler théorème du gendarme, mais bon d'un côté ce chapitre on viens de le commencer on a peine vus comment trouver le nombre dérivé je crois....je c'est pas...

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 17:47

merci. et oui même là je m'en souviens pas de ce théorème, peut-être l'ais-je vus mais sans l'appeler théorème du gendarme, mais bon d'un côté ce chapitre on viens de le commencer on a peine vus comment trouver le nombre dérivé je crois....je c'est pas...

je vais voir pour faire la f)

par **fonfon** » 16 Mar 2007, 17:57

je te donne un indice

la fonction f est derivable en xo ssi le taux de variation

tend vers une limite finie lorsque x->xo. Cette limite est le nombre dérivé, noté f'(xo)

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 18:12

ceci est comme la formule pour trouver un nombre dérivé. donc après on applique la formule avec la fonction sin x. c'est ce que j'ai penser....?? merci pour tout

par **jiji67** » 16 Mar 2007, 19:42

pour moi je pense donc juste utiliser la formule enfaite pour trouver le nombre dériver!

pour moi, pour la f, c'est dans le même genre,...

après, dans le2) je vois pas comment faire...faut-il utiliser la formule habituelle?

et pour le b) par contre même pas d'idée....

merci encore

par **fonfon** » 16 Mar 2007, 19:57

a) Ecrire la définition du nombre dérivé en x de la fonction sinus.

il faut appliquer l'autre definition du nombre dérivé:

par **fonfon** » 16 Mar 2007, 20:03

b) En utilisant la formule trigonométrique :
sina - sinb = 2sin (a-b/2) cos ( a+b/2)
prouver que:
sin(x+h)-sin x/h = (sin h/2)/(h/2) cos(x+ h/2)

par **juju67** » 16 Mar 2007, 20:13

bien donc il faut partir de cette relation vu l'énoncé : sina - sinb = 2sin (a-b/2) cos ( a+b/2) . pourqui as-tu utilisé l'autre défintion du nombre dérivé?

par **fonfon** » 16 Mar 2007, 20:17

regardes ce qui te demande de prouver

prouver que:
sin(x+h)-sin x/h = (sin h/2)/(h/2) cos(x+ h/2)

tu vois bien que ça correspond

par **juju67** » 16 Mar 2007, 20:51

merci je vais voir...

par **juju67** » 16 Mar 2007, 21:29

désolé pour le temps j'ai terminé le b)!

pour lec) et le3)...pourrait tu m'aider?

pour le c) comment peut-on montere que c'est dérivable?

par **fonfon** » 17 Mar 2007, 07:30

re,

pour le c) il faut que tu regroupes ce que tu as fais en a) et b)

soit

tu devrais trouver f'(x)=cos(x)

par **juju67** » 17 Mar 2007, 08:09

j'aiu fait sa:

2a
f'(x)=lim (f(x+h)-f(x))/h pour h tend vers 0
2b
sin(x+h)-sin x/h=2*sin((x+h-x)/2)cos((x+h+x)/2)
=2*sin(h/2)cos(x+h/2)
donc(sin(x+h)-sin x/h)/h=(2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2)
2c
si derivable la limite quand h tend vers zero de (2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2) existe.
lim(2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2)=
lim(sin(h/2)/(h/2))cos(x+h/2)=
lim(sin(h/2)/(h/2))*limcos(x+h/2)=
1*cosx=cosx
donc sinus est derivble et se derivee est cos x
3
cosx=sin(pi/2 - x)
(cosx)'=(sin(pi/2-x))'=(pi/2-x)'sin'(pi/2-x)=-cos(pi/2-x)=-sinx

qu'en pense tu? merci encore de ton aide

par **fonfon** » 17 Mar 2007, 08:17

oui, ça a l'air d'être bon

par **juju67** » 17 Mar 2007, 18:19

merci beaucoup pour ton aide

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