Exercice dérivé

[choupiflou]

bonjours, j'ai des exercices à faire pour après les vacances sur les dérivés, nous avons attaqué le chapitre juste avant les vacances et je n'ai pas très bien compris, j'aimerais bien votre aide SVP.

En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que les fonctions suivantes sont dérivables en x=a et donner f'(a).
PARTIE A
1) f(x)=2x²-3x+1 et a=2
2) f(x)= (x+1)/(x-1) et a=0
3) f(x)= (x-2) et a=4

PARTIE B
Soit f la fonction définie sur R par: f(x)=2|x-3|(x+1)
1) Exprimer f(x) sur ]-;) ;3] et sur [3;+;) [
2) la fonction f est-elle dérivable en x=3? Jusifier. Toute trace de recherche, même infructueuse sera prise en compte.

Partie A
j'ai essayé et trouver ça: T(h)= ((a+h)-f(a))/h
= (2(2+h)²-3(2+h)+1-(8-6+1))/h
= (2(4+4h+h²)-6+3h+1-8+6-1)/h
= (8+8h+2h²-6+3h+1+8+6-1)/h
= (2h²+11h+16)/h
C'est juste? Si oui je vais pouvoir faire la suite

Partie B
1) tableau de signe c'est ça? et on trouve en fonction de la valeur absolue deux fontion de f?
2) je ne comprends pas....

[Ericovitchi]

non, ton -8 s'est transformé en +8 sans raison.
les termes constants s'en vont forcement puisque quand h=0 le numérateur s'annule.
donc tu as 0 à la place de ton 16 et tu vas pouvoir simplifier un h avec le dénominateur en le mettant en facteur au numérateur.

En plus là, tu as calculé la dérivée au point 2 et pas au point a, pourquoi ?
Et puis après, n'oublie pas de faire tendre h vers 0.

[choupiflou]

Ah oui donc (2h²+11h)/h
h=0
bah ca donne 0 non?

[choupiflou]

Et le 2) = -2/(-h+1) ?

[Ericovitchi]

ça n'est pas 11h car -3(2+h) ça donne -6-3h et toi tu as mis +3h

Et même, tu n'as pas simplifié (2h²+11h)/h par h ça donne 2h+11 et ça ne donne pas 0 quand on fait tendre h vers 0 (et corrige le 11 qui est faux donc)

Pour le 2) oui mais fait tendre h vers 0

[choupiflou]

ok donc 1) 2h+5 donc f'(2)=5
2) f'(0)= -2

[Ericovitchi]

oui c'est ça.
un bon moyen de vérifier est de dériver les fonctions par les formules de dérivation et regarder ce que vaut la dérivée aux points en question. Tu sais dériver une fonction ?

[choupiflou]

non pas encore on a appris à faire que ça!

[choupiflou]

le3) je bloque j'en suis là = 2;)(h-2) -2 on peut encore plus réduire ou je fais directement h=0 donc =2;)(-2) -2?

[Ericovitchi]

;)(-2) ça risque pas :crane:

(f(4+h)-f(4))/h=(;)(4+h -2)-;)2)/h =(;)(2+h)-;)2)/h
et maintenant multiplie haut et bas par la quantité conjuguée ;)(2+h)+;)2 pour faire sauter l'indétermination.

[choupiflou]

oups...
ok je fais! je te dis quand j'ai finis

[choupiflou]

j'ai trouvé= 2+h-2/(h;)(2)+h²+h;)(2))
donc quand h=0 t(h)=0 donc f'(4)=0 c'est ça?

[Ericovitchi]

il est bizarre ton dénominateur pourquoi ne vaut-il pas (;)(2+h)+;)2) ?
Et puis tu as encore oublié de simplifier h entre le numérateur et le dénominateur.
non ça ne fait pas 0

[choupiflou]

parce qu'il y a aussi deja un h qui fait un produit (;)(2+h)-;)2)/h= (;)(2+h)-;)(2))(;)(2+h)+;)2) / h(;)(2+h)+;)2)

[choupiflou]

et donc bah a²-b²= 2+h-2=h
et le dénominateur donne =h(;)(2+h)+;)2)= h;)(2+h)+ h;)2
donc = h / h;)(2+h)+h;)2= 1/( ;)(2+h) + ;)2 ) c'est ca?

[Ericovitchi]

oui c'est ça. Et donc quand h tend vers 0 ça tend vers ?

[choupiflou]

je trouve f'(4)= 1/(2;)2) quand h=0

[Ericovitchi]

Oui c'est ça.

[choupiflou]

ok merci après ce qui en est de lapartie B
au 1) j'ai trouver f(x)= 2(3-x)(x+1) pour ]-;) ;3] et f(x)= 2(x-3)(x+1) pour [3;+;) [
au 2) bah j'ai chercher avec les deux formes de f(x)
]-;) ;3] --> t(h)= (2(3-(3+h))(3+h+1)-(2(0)(3+1))) /h= ((-2h)(4+h)-(0))/h= (-8h-2h²)/h=-8-2h
[3;+;) [ -->t(h)= (2(3+h-3)(3+h+1)-(2(3-3)(3+1)))/ h= (2(h)(4+h)-0)/h = (8h+2h²)/h = 8+2h

donc je retrouve l'opposé entre les deux c'est normal? Et je dois comprendre quoi si oui?

[Ericovitchi]

Effectivement, tu vois que la dérivée à droite n'est pas la même que la dérivée à gauche (il y a une rupture de pente sur le graphe)


Et donc tu conclus que la fonction n'est pas dérivable au point 3.