A. Soit P la restriction de la parabole d'équation y = x² à l'intervalle [-1 ; 1].
Soit d la droite d'équation y = 2 et M un point mobile sur la droite d, dont l'abscisse a est comprise entre -1 et 1.
Un rayon lumineux part de M parallèlement à l'axe des ordonnées ; il rencontre la parabole en un point A.
Le rayon réfléchi est déterminé comme étant le symétrique du rayon incident par rapport à la normale à la parabole au point A.
(La normale en A est la droite perpendiculaire à la tangente à la parabole au point A)
1) Réaliser la figure avec Géogébra.
2) Activer la trace de la droite représentant le rayon réfléchi, puis animer le curseur a. Que constate-t-on ?
B. Démonstration par calcul
Soit M, le point de coordonnées (a ; 2), à l'origine du rayon incident représenté par la droite (MA).
1) Déterminer une équation de la tangente T à la parabole au point A.
2) Démontrer que l'équation réduite de la normale N est donnér par:
y = - (1/2a)x+a²+ (1/2)
3) Déterminer l'équation réduite de la droite D perpendiculaire à la normale N et passant par M.
4) Démontrer que les coordonnées du point H, intersection des droites N et D, sont données par:
6a3-3a 4a4+2
( ------- ; ------- )
4a²+1 4a²+1
5) En utilisant l'égalité vectorielle
MM' = 2MH
démontrer que les coordonnées du point M' sont :
8a3-7a 8a4-8a²+2
( ------- ; ------------ )
4z²+1 4a²+1
6) En déduire que l'équation réduite de la droite (AM') est donnée par:
4a²-1
y = ------x + (1/4)
4a
7) Démontrer que pour toute valeur de a, la droite (AM') passe par un point fixe dont on précisera les coordonnées.
J'ai réussi à faire tout le A sur Géogebra, mais j'ai beaucoup de mal pour le B (je n'ai fait que du 1 au 3), j'aurais besoin d'aide, merci d'avance. :help:
