Exercice conjecture et calcul littéral Urgent !

[Stani]

Bonjour j'ai reçu cet exercice en DM mais n'arrive pas à le résoudre.
Execice:
a)Ambre énonce la conjecture suivante : "Le produit de quatre nombres entiers naturels consécutifs augmenté de 1 est toujours le carré d'un nombre entier". Traduire cette conjecture (=hypothèse) par une égalité
b) Développer successivement les produits suivants
n(n+1)
(n+2)(n+3)
(n²+n)(n²+5n+6)
(n²+3n+1)(n²+3n+1)
d) terminer la démonstration de la conjecture
e)Sans utiliser la calculatrice, de quel nombre 10X11X12X13 est il le carré ?

Merci pour vos réponses !!

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Pour commencer , on choisit un nombre entier naturel .
Notons ce nombre n , donc les nombres n ; n + 1 ; n + 2 et n + 3
sont quatre nombres entiers naturels consécutifs .

Maintenant est ce que tu peux faire les calculs demandés ?

[Stani]

a) n X (n+1) X (n+2) X (n+3) = a² (a appartient N)
b) n² + n
n² + 3n + 2n + 6 = n ² + 5n + 6
4 + 5n3 + 6n² + n3 + 5n² + 6n = n4 +6n3 + 11n² + 6n
(n² + 3n + 1)² = n4 + 9n² + 1
( je ne suis pas sur que les deux derniers sois justes...)
d) Je ne vois pas ce qu'il y a à terminer
e) 10 X 11 X 12 X 13 +1 = 17 161
car n X (n+1) X (n+2) X (n+3) = n4 + 6n3 +11n² + 6n +1
et si je remplace n par 10
alors 10 (puissance 4) + 6 X1O (puissance 3) + 11 X 1O (au carré) + 6X10 +1
10 (puissance 4) + 6 X 10 (puissance 3) + 110 (au carré) + 61
10 X 10 X10 x10 + 6X1000 + 110 X 110 +61
10 000 + 6 000 + 12 100 + 61 = 28 161 hors le resultat attendu est 17 161

[aymanemaysae]

a) n X (n+1) X (n+2) X (n+3) = a² (a appartient N)

Soit n un nombre entier naturel , il existe a un nombre entier naturel
tel que n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = a² .

b) n(n + 1) = n² + n .


(n+2)(n+3) = n² + 3n + 2n + 6 = n ² + 5n + 6


(n²+n)(n²+5n+6)=n^4+ 5n^3 + 6n² + n^3 + 5n² + 6n = n^4 +6n^3 + 11n² + 6n .

(n² + 3n + 1)² = (n² + 3n + 1)(n² + 3n + 1) = n^4 + 3n^3 + n² + 3n^3 + 9n² + 3n + n² + 3n + 1
= n^4 + 6n^3 +11n² + 6n + 1 .

d) Je ne vois pas ce qu'il y a à terminer .

Tu as n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n²+n)(n²+5n+6) = n^4 +6n^3 + 11n² + 6n ;
et (n² + 3n + 1)² = n^4 + 6n^3 +11n² + 6n + 1 ;
donc si tu calcules n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 , qu'est que tu obtiens ?

[Stani]

d) j'obtiens n^4 + 6n^3 + 11 n² + 6n +1
alors pour terminer la conjecture j'écris : n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4 + 6n^3 + 11 n² + 6n +1

et est ce que vous pourriez m'aider poue le e) ?
e) 10 X 11 X 12 X 13 +1 = 17 161
car n X (n+1) X (n+2) X (n+3) = n4 + 6n3 +11n² + 6n +1
et si je remplace n par 10
alors 10 (puissance 4) + 6 X1O (puissance 3) + 11 X 1O (au carré) + 6X10 +1
10 (puissance 4) + 6 X 10 (puissance 3) + 110 (au carré) + 61
10 X 10 X10 x10 + 6X1000 + 110 X 110 +61
10 000 + 6 000 + 12 100 + 61 = 28 161 hors le resultat attendu est 17 161

[aymanemaysae]

d) j'obtiens n^4 + 6n^3 + 11 n² + 6n +1
alors pour terminer la conjecture j'écris : n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4 + 6n^3 + 11 n² + 6n +1 = (n² + 3n + 1)²

et est ce que vous pourriez m'aider poue le e) ?
e)
D'après la conjecture que tu as démontré , et en prenant n = 10 ;
on a : 10 x 11 x 12 x 13 +1 = 10(10 + 1)(10 + 2)(10 + 3)
= (10² + 3 x 10 + 1)² = (100 + 30 + 1)² = 131² = 17161 .

Ainsi , tu viens de terminer ton exercice .

[Stani]

Merci beaucoup !

[aymanemaysae]

De rien . C'était avec un très grand plaisir . Bon courage .