Exercice compliqué fonction TVI dérivée trigo

[thibaut47500]

Démontrer que l'équation (x²+x)/(cos x)=2 admet deux solutions sur ]-pi/2;pi/2[.

Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de ces solutions. J'ai remis à 0 puis essayer de dériver mais je trouve une équation hyper compliqué à résoudre. Voila pourriez vous me guider pour me dire où commencer? Merci d'avance

[thibaut47500]

Pourquoi personne ne me répond?

[Ericovitchi]

ne t'impatientes pas, on ne peut pas répondre instantanément non plus.

Par exemple étudies la fonction y=(x²+x)/(cos x)-2
et constates qu'elle coupe bien l'axe des x en 2 endroits ~ -1.340 et ~ 0.788

[thibaut47500]

Oui je suis d'accord mais il faut que je le démontre par le calcul.

[Ericovitchi]

ou bien plus simplement tu étudies x²+x=2cosx donc les deux fonctions y=x²+x et y=2cos x


Pour trouver les valeurs, il faut utiliser des méthodes approchées genre Newton ou Lagrange

[thibaut47500]

Oui mais dans ce cas la le cos(x) ne sert à rien et pourtant il est bien la. Apparemment il faudrait dresser le tableau de variations donc se servir de la dérivée mais c'est bien compliqué. Pouvez-vous me guider s'il vous plait?

[Olympus]

Salut !

Tu étudies donc les racines de , définie sur par .

Tu dérives, puis tu auras , et la dérivée est trivialement croissante ( tu peux vérifier ) .

L'idée est d'appliquer la dichotomie à la dérivée sur pour étudier les variations de .

Tu trouveras rapidement que s'annule en un seul et unique réel qui appartient à ( tu pourras trouver mieux mais c'est inutile ) .

Mais vu que la dérivée est croissante, on aura .

Donc est décroissante sur et croissante sur .

Mais il y a un problème, on ne sait pas comment se comporte sur ... Il nous suffira de prouver qu'elle ne s'annule pas dedans . Un petit encadrement devrait suffire pour montrer qu'elle y est strictement négative .

Donc finalement, tu appliques la dichotomie à sur pour ta première solution, puis sur pour la deuxième .

[thibaut47500]

Merci beaucoup Olympus mais je ne comprends pas une chose, ma fonction initiale est y=(x²+x)/(cos x)-2 et il me semble que dans la tienne tu as omis de mettre le dénominateur car ton f(x)=x²+x-2cos(x) et je comprends pas ou est passer cos(x) au dénominateur? Désolé pour mon niveau en maths^^

[gigamesh]

Salut,
résoudre dans , intervalle dans lequel cos ne s'annule pas, revient à résoudre

[thibaut47500]

Ok merci à tous j'ai mes solutions!