Exercice complexes [TS]

[lalane]

Bonsoir, j'ai un devoir maison de mathématiques pour les vacances. Pourriez vous me dire si mes résultats sont bons et m'éclairer sur les questions où j'ai des difficultés ?

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v).
On fera une figure qui sera complété au fur et à mesure.
Soit f l'application qui à tout point M de P d'affixe non nulle z associe le point M' d'affixe : z' = 1/2(z+1/z)

1) Soit E le point d'affixe ze=-i. Détermibner l'affixe du pont E', image de E par f
-> je trouve z'e=0

2) Déterminer l'ensemble des point M tels que M'=M
-> j'ai trouvé que c'était un cercle de rayon 1 mais je ne sais pas comment le démontrer.

3) On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit M un point distinct de O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et -1 on a :
(z'+1)/(z'-1) = ((z+1)/(z-1))²
-> j'ai développé séparément et je retrouve la même chose donc je pense avoir bon.

b) En déduire une expression de M'B/M'A en fonction de MB/MA, puis une expression de l'angle (M'A ; M'B) en fonction de l'angle (MA ; MB)
-> en réutilisant la question a je trouve que M'B/M'A=(MB/MA)² et que (M'A ; M'B)=(MA ; MB)² mais je ne suis pas sûr de cela.

4) Soit delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de delta distinct du point O, alors M' est un point de delta.
-> on pourrait dire que A et B étant des réels, ces points sont situés sur l'axe des abscisses, donc delta est l'axe des ordonnées, mais je ne vois pas trop comment le démontrer.

5) Soit gamma le cercle de diamètre [AB].
a) Montrer que si le point M appartient à gamma alors le point M' appartient à la droite [AB]
-> je le visualise sur le dessin mais je ne voit pas comment le démontrer.

b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?
-> je ne sais pas traiter cette dernière question.

En espérant trouver de l'aide auprès de vous, bonne soirée.

[Sa Majesté]

1) Soit E le point d'affixe ze=-i. Détermibner l'affixe du pont E', image de E par f
-> je trouve z'e=0

OK

2) Déterminer l'ensemble des point M tels que M'=M
-> j'ai trouvé que c'était un cercle de rayon 1 mais je ne sais pas comment le démontrer.

M'=M ssi z'=z
Il suffit de résoudre z'=z (l'ensemble trouvé n'est pas un cercle)

3) On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit M un point distinct de O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et -1 on a :
(z'+1)/(z'-1) = ((z+1)/(z-1))²
-> j'ai développé séparément et je retrouve la même chose donc je pense avoir bon.

OK

b) En déduire une expression de M'B/M'A en fonction de MB/MA, puis une expression de l'angle (M'A ; M'B) en fonction de l'angle (MA ; MB)
-> en réutilisant la question a je trouve que M'B/M'A=(MB/MA)² et que (M'A ; M'B)=(MA ; MB)² mais je ne suis pas sûr de cela.

OK pour M'B/M'A=(MB/MA)²
Pour l'angle, n'oublie pas que arg(Z²)=2 arg(Z) car arg(z1.z2)=arg(z1)+arg(z2)

4) Soit delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de delta distinct du point O, alors M' est un point de delta.
-> on pourrait dire que A et B étant des réels, ces points sont situés sur l'axe des abscisses, donc delta est l'axe des ordonnées, mais je ne vois pas trop comment le démontrer.

A a pour affixe 1 et B a pour affixe -1 donc delta est l'axe des ordonnées
Si M appartient à delta alors quelle est l'expression de son affixe z ? D'où z' ...

5) Soit gamma le cercle de diamètre [AB].
a) Montrer que si le point M appartient à gamma alors le point M' appartient à la droite [AB]
-> je le visualise sur le dessin mais je ne voit pas comment le démontrer.

Je pense qu'il faut montrer que M' appartient au segment [AB]
Utilise une des propriétés démontrées au 3b)

b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?
-> je ne sais pas traiter cette dernière question.

La question revient à : z' peut-il prendre toutes les valeurs réelles ?

[johnjohnjohn]

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v).
On fera une figure qui sera complété au fur et à mesure.
Soit f l'application qui à tout point M de P d'affixe non nulle z associe le point M' d'affixe : z' = 1/2(z+1/z)

2) Déterminer l'ensemble des point M tels que M'=M
-> j'ai trouvé que c'était un cercle de rayon 1 mais je ne sais pas comment le démontrer.

.

En es tu sur ? D'ailleurs des cercles de rayon 1, t'en as un paquet dans le plan hein !! Il aurait pour le minimum fallu que tu nous dises lequel ( ou lesquels ). Ceci dit je trouve pas de cercle

On repart du début

M'=M ssi pour tout z non nul , z'=z ssi z=1/2(z+1/z) ssi z=1/2 ((z² + 1)/z) .....

[lalane]

Merci pour vos réponses.

Pour la 2), je me retrouve avec z=1 ou -1

Pour la 3)b) j'obtiens que (M'A ; M'B) = 2(MA ; MB)

Pour la 4) je ne vois pas vraiment...

Pour la 5)a) j'ai fait une erreur de frappe c'est bien : a) Montrer que si le point M appartient à gamma alors le point M' appartient à la droite (AB).
Si je réutilise la question 3)b), puis je dire que comme M'B/M'A = (MB/MA)², M appartient à gamma de diamètre [AB] : M' appartient à (AB) ?

Et pour la b) je n'ai pas compris comment traiter la question.

[Sa Majesté]

Pour la 4) je ne vois pas vraiment...

Pour la 5)a) j'ai fait une erreur de frappe c'est bien : a) Montrer que si le point M appartient à gamma alors le point M' appartient à la droite (AB).
Si je réutilise la question 3)b), puis je dire que comme M'B/M'A = (MB/MA)², M appartient à gamma de diamètre [AB] : M' appartient à (AB) ?

Et pour la b) je n'ai pas compris comment traiter la question.

Pour la 4) si M est sur l'axe des ordonnées, comment peux-tu écrire son affixe ?

Pour la 5)a) qu'est-ce qui caractérise le fait qu'un point M soit sur le cercle de diamètre [AB] ?
Que peux-tu en déduire grâce au 3)b) ?

[lalane]

Pour la 4, désolée mais je ne vois pas ce que vous voulez me faire dire. A part que la partie réel du point M sera nulle je ne vois pas. Son affixe s'exprimerait en fonction de i, mais...

Pour la 5)a), si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors MO = 1/2[AB] ?

[Sa Majesté]

Pour la 4, désolée mais je ne vois pas ce que vous voulez me faire dire. A part que la partie réel du point M sera nulle je ne vois pas. Son affixe s'exprimerait en fonction de i, mais...

Eh bien oui !
Alors si tu poses par exemple z=k i avec k réel, comment s'exprime z' et que peux-tu en déduire sur la position de M' ?

Pour la 5)a), si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors MO = 1/2[AB] ?

Oui mais ce n'est avec cette expression que tu vas t'en sortir !
Utilise seulement M, A et B

[lalane]

Pour la 4, si on pose z=ki, on trouve que z' s'exprime aussi avec i donc M' se situe sur delta ?
par contre en utilisant z'=1/2(z+1/z) : on remplace z par ki et on développe ou ... ?

Pour en revenir à la question 2), je trouve z=1 ou -1, l'ensemble des points M tels que M'=M est donc un segment ?

Pour la 5)a), je suis de nouveau bloquée.

[Sa Majesté]

Pour la 4, si on pose z=ki, on trouve que z' s'exprime aussi avec i donc M' se situe sur delta ?
par contre en utilisant z'=1/2(z+1/z) : on remplace z par ki et on développe ou ... ?

Oui

Pour en revenir à la question 2), je trouve z=1 ou -1, l'ensemble des points M tels que M'=M est donc un segment ?

Non
z=1 c'est M=A et z=-1 c'est M=B donc l'ensemble c'est {A,B}

Pour la 5)a), je suis de nouveau bloquée.

Pense aux angles ... et regarde la question 3)b)

[lalane]

Pour la 2) ce n'est pas simplement l'ensemble {-1 ; 1} vu que l'on nous parle de A et B que dans la question 3) ?

Pour la 4), en développant je trouve (k²+1)/2ki, on n'obtient pas un imaginaire pur avec cela.

Je réfléchis pour la 5)...

[Sa Majesté]

Pour la 2) ce n'est pas simplement l'ensemble {-1 ; 1} vu que l'on nous parle de A et B que dans la question 3) ?

Je préfère les preuves par calcul que par ce genre de raisonnement :happy2:

Pour la 4), en développant je trouve (k²+1)/2ki

Ton calcul est faux !

on n'obtient pas un imaginaire pur avec cela.

C'est faux : (k²+1)/2ki est bien un imaginaire pur

[lalane]

Pour la 2) ce n'est pas simplement l'ensemble {-1 ; 1} vu que l'on nous parle de A et B que dans la question 3) ?

par cela je voulais dire : dans votre message précédent, vous m'avez dit que l'ensemble était {A ; B}, j'ai compris vu que l'on obtient z=1 ou -1. Mais on nous parle des points A et B que dans la question 3). Ici nous sommes à la 2) alors l'ensemble trouvé est juste l'ensemble {-1 ; 1}

Pour la 4) j'obtiens (-k²+1)/2ki, est ce juste ?

[Sa Majesté]

Rien ne t'empêche de dire que l'ensemble des points M tels que M=M' est constitué des points d'affixes 1 et -1 :happy2:

OK pour (-k²+1)/(2ki) mais que vaut 1/i ?

[lalane]

si on met 1/i sous forme algébrique on obtient -i, mais pourquoi cette question ?

[Sa Majesté]

C'est ce qui permet de montrer que z' est imaginaire pur quand z est imaginaire pur

[lalane]

pourquoi ?

[lalane]

Bonsoir, je me permet de remonter mon sujet pour les questions 4 et 5.
Merci

[johnjohnjohn]

Bonsoir, je me permet de remonter mon sujet pour les questions 4 et 5.
Merci

4) Soit delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de delta distinct du point O, alors M' est un point de delta.


delta est définie par l'équation MA=MB ( en distance ! )

Avant de faire ta question on va s'amuser à déterminer l'équation en fonction de x et y ( on s'attend à trouver une droite hein ! )

MA=MB MA²=MB² ( MA et MB sont des grandeurs positives ou nulles )

MA²=(x-1)² +y² , MB²=(x+1)² +y²

l'équation devient donc

(x-1)² +y² = (x+1)² +y²

x²-2x + 1 + y² = x²+2x+1 +y² x=0 , tiens c'est l'équation de l'axe des ordonnées ça correspond bien à ce qu'on voit sur la figure non ??


Pour revenir à ta question , je t'aide un chouia

M est un de delta donc MA=MB

pour démontrer que M' est aussi un point de Delta, ne pourrais tu pas montrer que M'A=M'B ? ( indice : Dans la question précédente , t'as établi que (MA/MB)²=M'A/M'B )

[lalane]

Merci pour l'aide,
si (MA/MB)²= M'A/M'B
et que MA²=MB² alors M'A=M'B c'est bien cela qui nous permet de répondre à la question ?

[johnjohnjohn]

Merci pour l'aide,
si (MA/MB)²= M'A/M'B
et que MA²=MB² alors M'A=M'B c'est bien cela qui nous permet de répondre à la question ?

oui ça me parait juste

Si M est un point de la médiatrice de la droite (AB), MA=MB => (MA/MB)²=1. De la troisième question on sait que (MA/MB)²= M'A/M'B donc si MA=MB alors M'A=M'B. Conclusion si M est point de Delta alors M' également