Exercice arithmétique

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sandy123
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Exercice arithmétique

par sandy123 » 08 Juin 2021, 18:36

Bonsoir j'ai un petit problème sur un exercice d'arithmétique:
En fait voici l'énoncé

Un nombre s'écrit aabb en base 10 ,comment choisir b pour qu'il soit un carré parfait ?

En fait j'aimerais juste avoir la méthode et puis j'essairai moi même.

Merci beaucoup de m'aider.



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mathelot
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Re: Exercice arithmétique

par mathelot » 08 Juin 2021, 19:22

Bonjour,
calculer la suite des carré d'entiers modulo 100.
Exemple:
modulo 100

sandy123
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Re: Exercice arithmétique

par sandy123 » 08 Juin 2021, 20:24

Bonsoir,et en quoi ça pourrait m'aider s'il vous plaît
Le truc c'est que je ne vois pas la finalité

lyceen95
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Re: Exercice arithmétique

par lyceen95 » 08 Juin 2021, 21:51

Pas sûr que la méthode soit la plus courte, mais elle va permettre de bien avancer

En fait , il faut ''deviner'' la réponse, puis ensuite, démontrer le résultat que tu as deviné. Et c'est souvent comme ça dans les exercices.
Ici, il faut deviner la forme générale de la réponse, pas forcément deviner précisément la réponse.
Et deviner, ça veut dire griffonner sur une feuille de brouillon, faire des essais sur des calculs simples, et essayer de voir s'il y a des 'logiques'.

Donc parmi les premiers trucs à griffonner au brouillon, c'est d'écrire les nombres de 1 à 20 par exemple sur une colonne, et d'écrire à côté les carrés des nombres de 1 à 20.
Pour voir si dans la colonne des carrés, on ne remarque pas quelque chose en rapport avec la question.

hdci
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Re: Exercice arithmétique

par hdci » 08 Juin 2021, 22:01

On peut également remarquer qu'un tel nombre aabb est divisible par 11 (pour rappel, les entiers divisibles vérifient que la somme des chiffre de rang pair et celle des chiffre de rang impair sont égales modulo 11 : par exemple, 935 est divisible par 11 car 9+5=14 et 3 est égal à 14 modulo 11 (la différence est divisible par 11) ; comme c'est un carré et que 11 est premier, le nombre recherché est forcément multiple de 11.

Cela restreint les possibilités, d'autant que les seuls nombres admissibles sont inférieurs à 100 (100²=10000), il n'y a plus beaucoup de cas à vérifier.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

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mathelot
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Re: Exercice arithmétique

par mathelot » 08 Juin 2021, 22:44

Avec quelques remarques, l'exercice devient trivial. Pourquoi ?

Dans aabb, a ne peut pas être nul donc et
De plus N est divisible par 11.
Si N=aabb est le carré de n , alors et n est divisible par 11 car 11 est premier, ça laisse peu de possibilités.
En fait, on trouve une unique solution.

Black Jack

Re: Exercice arithmétique

par Black Jack » 09 Juin 2021, 10:49

Bonjour,

"aabb" = 1100a + 11b = 11(100a + b) --> aabb est multiple de 11
et donc, comme 11 est premier, il faut que (100a + b) soit aussi un multiple de 11 (pour que 1100a + 11b soit un carré)

100 <= 100a + b <= 909

et avec (100 a + b) (avec a diff de 0) , les valeurs possibles de 100a + b sont : (100 à 109) , (200 à 209) ... (900 à 909)

Il n'y a qu'un multiple de 11 au max dans chacun de ces groupes.

Comme 11* ent(100/11) = 99, le suivant étant 110, on voit qu'il n'y a aucun multiple de 11 dans (100 à 109)
Comme 11* ent(200/11) = 198, le suivant étant 209, on voit qu'il y a 1 multiple de 11 dans (200 à 209), c'est 209
En ajoutant 99.k à 198, on trouve que 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902 conviennent aussi (pour avoir (100 a + b), multiple de 11)

Donc les "aabb" à tester se résument à : 2299, 3388, 4477, 5566, 6655, 7744, 8833, 9922

Le seul carré parmi ces possibilités est : 7744

Donc a = 7 et b = 4 est la seule possibilité.

8-)

hdci
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Re: Exercice arithmétique

par hdci » 09 Juin 2021, 11:26

N'est-il pas plus simple, après avoir vu que la racine carrée était multiple de 11 et comprise entre 34 et 99, de calculer 44², 55², 66², 77², 88² et 99² et de conclure ? (sauf bien sûr si on n'a pas de calculatrice, et encore..., même à la main c'est assez rapide).
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

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