Exercice d'arithmétique problématique

[Tir McDohl]

Bonsoir, j'ai de très grosses difficultés (en fait, j'arrive même pas à comprendre par quoi commencer) sur cet exo:

Soient a, b et c des entiers strictement positifs. On suppose que a et c sont premier entre eux (donc pgcd(a,c)=1 ).

1.Soit d un diviseur de a. Montrer que d et c sont premiers entre eux.

2.Soit d un diviseur de a et bc. Montrer que d divise b.

3.Montrer que l'on a pgcd(a,bc) = pgcd(a,b).


Je dois le faire pour demain et j'aimerais au moins savoir faire les deux premiers. Pour le premier j'ai commencé sur un peu n'importe quoi en disant que l'ensemble D des diviseurs de d était inclus dans Da. Mais en fait je vais nulle part et je comprend pas quoi faire, en plus d'être dans l'urgence.

Je lui en serai reconnaissant si quelqu'un pouvait m'aider sur ces questions.

[chan79]

Bonsoir, j'ai de très grosses difficultés (en fait, j'arrive même pas à comprendre par quoi commencer) sur cet exo:

Soient a, b et c des entiers strictement positifs. On suppose que a et c sont premier entre eux (donc pgcd(a,c)=1 ).

1.Soit d un diviseur de a. Montrer que d et c sont premiers entre eux.

.

salut
Pense que si un nombre divise d, il divise a.
Si un nombre divise d et c, il divise a et c

[Tir McDohl]

Salut,

J'ai 1 qui est le seul diviseur de a et c, moi j'ai compris les choses dans cet ordre:

si x divise d et c, ça implique que x divise a et c. Par contre que y divise a et c, est-ce que ça implique quelque chose pour ce qui diviserait d et c? je veux dire par là est-ce que ça marche dans les deux sens? Si c'est le cas, je pense effectivement tenir la réponse, mais je doute que ce genre de choses marche après.

Un indice aussi pour le second?

[chan79]

Salut,

J'ai 1 qui est le seul diviseur de a et c, moi j'ai compris les choses dans cet ordre:

si x divise d et c, ça implique que x divise a et c. Par contre que y divise a et c, est-ce que ça implique quelque chose pour ce qui diviserait d et c? je veux dire par là est-ce que ça marche dans les deux sens? Si c'est le cas, je pense effectivement tenir la réponse, mais je doute que ce genre de choses marche après.

Un indice aussi pour le second?

si x divise d et c, il divise a et c. Comme a et c sont premiers entre eux, x est égal à 1.
Donc d et c sont premiers entre eux.

[Tir McDohl]

Je ne comprend pas (désolé je suis très mauvais :[ ...).
d divise a, mais pourquoi serait-il forcément égal à 1 (il n'a pas été dit qu'il divisait c aussi)? Et deux nbs premiers entre eux sont pas forcément eux-mêmes premiers non?

T_T

[chan79]

Je ne comprend pas (désolé je suis très mauvais :[ ...).
d divise a, mais pourquoi serait-il forcément égal à 1 (il n'a pas été dit qu'il divisait c aussi)? Et deux nbs premiers entre eux sont pas forcément eux-mêmes premiers non?

T_T

j'ai corrigé
si un nombre x divise d et c , alors il divise a et c donc x=1 puisque a et c sont premiers entre eux.
Le seul diviseur de d et c est donc 1

[Tir McDohl]

D'accord, je te remercie de ton aide je comprend mieux.
Pour la seconde je sais que si d divise b alors d divise bc, mais encore une fois on me propose le truc dans l'autre sens... et en plus j'imagine que le fait que ce soit un diviseur commun à a est important.
Je renonce à la 3 mais j'aimerais vraiment arriver à tenter un trucs sur le 2, quelqu'un a une petite piste?

[capitaine nuggets]

Salut !

La 2. n'est pas très compliquée :+++:

Traduit pgcd(a,c)=1 à l'aide du théorème de Bézout.
Il ne te reste qu'à tout multiplier par et ça devrait être bon :++:

[Tir McDohl]

Salut,
Ben avec x et y entiers, on a ax+cy=1. En mulpliant tout par c j'ai acx + ccy= c, là je sais plus trop quoi faire j'aurais bien pgcd (ac,cc)=c mais j'ai l'impression que j'écris vraiment n'importe quoi. Ou alors le c faisait pas référence au symbole de l'équation diophantienne et était juste c mais du coup je comprend encore moins.
Je ne comprend pas... pourtant j'essaie là. Je trouve cet exercice dur honnêtement...

[capitaine nuggets]

Salut !

La 2. n'est pas très compliquée :+++:

Traduit pgcd(a,c)=1 à l'aide du théorème de Bézout.
Il ne te reste qu'à tout multiplier par et ça devrait être bon :++:

Oui, j'ai fait une gaffe, multiplie tout par b et tu as abx+bcy=b et c'est bon :+++:

[zygomatique]

salut

pour la 2/ il y a aussi le théorème de Gauss (si on passe pas par Bézout) ... et dans la logique du problème qui utilise 1/ ....

:lol3:

[Tir McDohl]

Du coup pour le deux j'imagine que le lien était à faire avec le fait que b divise entre autre bc du coup (comme d, mais bon puisque bc est un multiple de b j'ai l'impression de dire encore des conneries). Hier après ça j'ai pas trop saisi le lien donc j'ai juste fait un rapport (en restant évasif) sur le fait que puisque b divise ab+bc et d divise a+bc, blablabla mais je comprend toujours pas trop. Je suis probablement un cas désespéré sur la divisibilité en général je pense, les fonctions et compagnie c'est bcp plus simple.

Merci de votre aide à tous.

[zygomatique]

THE de Gauss :: si a divise bc et est premier avec b alors a divise c ....

si a et c sont premiers (question 1/) et si d divise a et bc alors d divise b ou d = 1 ....

[Tir McDohl]

Je vois, je comprend cette méthode je pense, merci.