Exercice d'arithmétique (nombres de Fermat)

[Skrilax]

Bonsoir,

Il y a un exercice qui me pose problème dans mon livre de spé, j'aimerais avoir quelques pistes :

x un entier strict supérieur à 1. m un naturel non nul.

Exprimer en fonction de x . En déduire que x+1 |

Merci.

[lapras]

Salut, tu peux dire que -1=(-1)^(2k+1)
1=(-1)^(2k)
et utiliser la somme de suite géométrique.

[Skrilax]

Merci beaucoup ! on a pris un = et c'est bon.

[guigui51250]

euh j'ai pas compris l'histoire du -1, tu pourrais m'expliquer lapras stp

[Skrilax]

Autre problème un peu plus loin :

m un naturel non nul, montrer que si 2^m +1 est premier alors m est de la forme 2^n avec n naturel.

Des idées ?

[Huppasacee]

euh j'ai pas compris l'histoire du -1, tu pourrais m'expliquer lapras stp

Bonsoir

on connait la factorisation de



si n est impair

on peut dire que
=
et c'est là qu'interviennent les

[Skrilax]

On a trouvé 2-3 trucs depuis tout à l'heure (autres questions de l'exercice) :

-q naturel strictement supérieur à 1, impair
q' naturel non-nul
2^(qq') + 1 n'est jamais premier.

- x un entier strict supérieur à 1. m un naturel non nul.

x + 1 divise x^(2m) - 1 et divise x^(2m+1) +1

[Huppasacee]

[Skrilax]

Je ne comprends pas ta réponse, ni à quelle question elle répond...

[Zweig]

un naturel non nul, montrer que si est premier alors est de la forme avec naturel.

L'entier peut s'écrire sous la forme , avec un entier naturel impair (c'est une conséquence de la décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel). On suppose que est premier.



Or , ce qui contredit le fait que est premier. D'où .

Rappel : avec impair. Donc