Exercice angle et trigo

par **pmloik** » 27 Mar 2008, 20:50

Bonjours j'ai un exercice conseillé par le prof sur les angles et la trigonométrie que l'on fait si on le veut car cela nous permettra de voir les angles et la trigo j'ai donc décidé de le faire cependant cette exercice et assez dur pour moi car je ne suis pas très fort sur la trigo donc si quelqu'un peut m'aider sa serai gentil Merci d'avance

on considère le pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle trigonométrique

1.Justifier que (OA,OB)=2pi/5,
(OA,OC)=4pi/5
(OA,OD)=6pi/5
(OA,OE)=8pi/5 Ce sont tous des vecteurs
2.En déduire les coordonnées de A,B,C,D et E puis celle de V=OA+OB+OC+OD+OE
(la encore ce sont tous des vecteurs)
3.Montrer que (OB+OE) et (OC+OD) sont colinéaires à OA puis que V est colinéaire à OA.(tous des vecteurs)
4.Montrer de même que V est colinéaire à OB, à OC, à OD et à OE.(tous des vecteurs)
5.En déduire que:
a)OA+OB+OC+OD+OE=0 (tous des vecteurs)
b)1+2cos2pi/5+2cos4pi/5=0
6.a)En déduire que cos2pi/5 est solution de l'équation 4x²+2x-1=0
b)Déterminer alors la valeur exacte de cos2pi/5

par **pmloik** » 27 Mar 2008, 21:22

n'y a t-il personne pour m'aider

par **ninie053** » 27 Mar 2008, 21:52

1)
il s'agit d'un pentagone régulier donc tout les points se trouvent sur le cercle trigonométrique et mieux que ça d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,E)=d(E,A)

si tu fais un dessin tu peux remarquer alors que: (OA,OB)=(OB,OC)=(OC,OD)=(OD,OE)=(OE,OA)

autrement dit la somme de ces 5 angles est égale à 2pi (ils font un tour complet autour de O)

comme ils sont tous égaux tu as :
(OA,OB)=2pi/5
(OA,OC)=(OA,OB)+(OB,OC)=2pi/5 + 2pi/5=4pi/5
et ainsi de suite pour les autres angles.

(fais tout de même attention à l'orientation pour les angles,par ex: (OA,OB) différent de (OB,OA)! )

2)
si tu place le point A de coordonné (1,0) et que tu place tes autres points dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) tu as que le point B a pour coordonnées (cos(2pi/5),sin(2pi/5)) ,le point C (cos(4pi/5),sin(4pi/5)) et ainsi de suite ...

pour la question d'après:
un vecteur MN a toujours pour coordonnée: (Xn-Xm,Yn-Ym)
à partir de là OA=(Xa-X0,Ya-Y0)=(Xa,Ya)
idem pour les autres vecteurs
ainsi V=(Xa,Ya)+(Xb,Yb)+....
V=(Xa+...+Xe , Ya+...+Ye)
tu n'as plus qu'à remplacer avec ce qu'il y a au dessus.

par **pmloik** » 27 Mar 2008, 22:14

ok Merci j'ai trouvé les réponses et pour la suite quelles sont les solutions

par **ninie053** » 27 Mar 2008, 22:26

3)
OB+OE=(cos(2pi/5)+cos(8pi/5),sin(2pi/5)+sin(8pi/5))
je nomme ce vecteur W.
W et OA st colinéaires ssi W=kOA

tu sais que:
sin(U)=sin(U+2kpi)
cos(U)=cos(U+2kpi)
sin(-U)=-sin(U)
cos(-U)=cos(U)

sin(8pi/5)=sin(8pi/5 + 2kpi)=sin(8pi/5 + 10kpi/5)
pour k=-1: sin(8pi/5)=sin(-2pi/5)=-sin(2pi/5)

par un meme raisonnement tu as cos(8pi/5)=cos(2pi/5)

d'ou:
W=( 2cos(2pi/5),0)
donc W=(2cos(2pi/5))OA
donc W et OA colinéaires
c'est exactement le meme type de raisonnement pour OC+OD

par **ninie053** » 27 Mar 2008, 22:36

3.... puis que V est colinéaire à OA.(tous des vecteurs)
4.Montrer de même que V est colinéaire à OB, à OC, à OD et à OE.(tous des vecteurs)

pour ces questions c'est le meme raisonnement que précédemment.à toi de trouver

par **pmloik** » 27 Mar 2008, 22:45

Je trouve ça
OB+OE=(Cos(2pi/5)+Cos(8Pi/5), Sin(2Pi/5)+Sin(8Pi/5))
Cos(2pi/5)+Cos(8Pi/5)=2Cos((2+8)Pi/5/2)Cos((2-8)Pi/5/2) ; cosa+cosb=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2)
=2cos(Pi)cos(3Pi/5)
= -2cos(3Pi/5)

Sin(2Pi/5)+Sin(8Pi/5)=2Sin((2+8)Pi/5/2)Cos((2-8)Pi/5/2) ; sina+sinb=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2)
=SinPiCos(3Pi/5)
=0
mais pour (oc+cd) tu peux me mettre la solution

par **ninie053** » 27 Mar 2008, 22:57

5.En déduire que:
1+2cos2pi/5+2cos4pi/5=0

OC+OD= (2cos(4pi/5),0)
d'où
OC+OD+OB+OE+OA=(2cos(4pi/5),0)+(2cos(2pi/5),0)+(1,0)
=(2cos(4pi/5)+2cos(2pi/5)+1,0)
or OA+OB+OC+OD+OE=(0,0) donc
2cos(4pi/5)+2cos(2pi/5)+1=0

par **ninie053** » 27 Mar 2008, 23:05

je ne connais pas la formule que tu utilises et vu ton résultat elle est probablement fausse

par **pmloik** » 27 Mar 2008, 23:14

peut etre qu'elle fausse mais je voulais te montrer si ce que j'ai fais c'était bon
et pour le reste du problème tu pourrais me montrer les solutions Merci

par **ninie053** » 27 Mar 2008, 23:35

et bien non ce n'est pas bon car tes formules sont inexactes.

6.a)En déduire que cos2pi/5 est solution de l'équation 4x²+2x-1=0

remplace x par cos(2pi/5) dans l'équation puis utilise la formule:
cos²(a)=(1+cos(2a))/2
tu trouves alors : 1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)
qui vaut 0 d'après la question précédente
donc cos(2pi/5) est solution de l'équation 4x²+2x-1=0

par **pmloik** » 27 Mar 2008, 23:45

Merci Et pour ces questions ?

3. V est colinéaire à OA.(tous des vecteurs)
4.Montrer de même que V est colinéaire à OB, à OC, à OD et à OE.(tous des vecteurs)
6.b)Déterminer alors la valeur exacte de cos 2pi/5

par **saintlouis** » 28 Mar 2008, 12:20

Bonjour
Supprimé par la modération

par **pmloik** » 28 Mar 2008, 19:16

Qui pourrait m'aider pour le reste des questions non trouvé svp ? merci

par **pmloik** » 30 Mar 2008, 23:12

puisque personne ne veut m'aider qui pourrait me poster toute les réponses de l'exercice SVP notamment les questions 3,4,5, et 6.

Exercice angle et trigo

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