Exercice de 2nde - Parabole...

[wizard]

Bonjour, j'ai un devoir de mathématiques à faire pour la rentrée, et il y a un exercice où je bloque complètement. Est-ce que vous pourriez m'aider, s'il-vous-plaît ? Merci d'avance ! Voilà l'énoncé :


- Exercice : Courbe de g telle que g(x) = 2x²

Dans un repère quelconque, P est la parabole représentative de f telle que f(x) = x². Soit M un point d'abscisse a sur P. On désigne par N le milieu de [OM].



1. Ecrire les coordonnées du point N en fonction de a.
2. Montrer que ce point N est sur la courbe représentative de la fonction h : x -> 2x².
3. Si M décrit P, construire plusieurs points N et en déduire la courbe représentative de la fonction h.

[Simon]

Bon.
Ayant aussi cet exercice à chercher (et à trouver, donc), j'ai éventuellement une rpéonse à proposer à la première question.
"1. Ecrire les coordonnées du point N en fonction de a."

Regarde deux minutes la leçon sur les Vecteurs.
Ca va t'inspirer.
Donc.
On sait que le Point N est le milieu du Segment OM.
O étant l'origine du repère, ses coordonées sont donc (0;0).
Ensuite, le Point M. Son point d'abcisse est a, celui des ordonnées est inconnu, mais pas utile. On l'appel donc Ya (félicitations aux parents, le petit Ya est en plein santé, etc.)

Soit (Xn;Yn) les coordonnées du point N.
Grace aux cours sur les vecteurs, on sait que :
Xn = (XM + X0)/2
Yn = (YM + Y0)/2
Donc:
Xn = (a + 0)/2
Xn = a/2
--
Yn = (YM + 0)/2
Yn = YM/2

Pour moi, ce serait ça.
Mais j'avoue que je n'en suis pas sûr du tout, et notemment la correspondance avec les vecteurs ...

Par contre, pour le reste, je ne peux pas t'aider.
Mais je chercher encore.
Ou du moins, j'essaie.

[rene38]

Bonjour

celui des ordonnées est inconnu, mais pas utile. On l'appel donc Ya

L'abscisse de M est a et M est sur la courbe d'équation y=x² ; son ordonnée est donc ...

[Simon]

L'abscisse de M est a et M est sur la courbe d'équation y=x² ; son ordonnée est donc ...

Et donc, je n'ai pas réfléchi.

Ym = a²
Donc:
Yn = a²/2

D'ailleurs, ça me donne une idée pour la suite.

Question 2. "Montrer que ce point N est sur la courbe représentative de la fonction h : x -> 2x²."

Pour prouver que le point n est sur la réprésentation graphique de la fonction h, on cherche à trouver h(N).
h(N) = 2*N².
Grâce à la question précédente, on sait que l'abcisse de N est a/2.
Donc h(N) = h(a/2)
h(a/2) = 2(a/2)²
= 2*(a²/4)
= 2a²/2*2
= a²/2

Donc, h(N) = a²/2
On retrouve l'ordonnée du point N calculée à la question d'avant.

On prouve donc que le Point N se trouve sur la courbe réprésentative de la fonction h.

---

Est-ce juste ?

[wizard]

Merci Simon, j'ai bien compris ton raisonnement, mais le problème c'est que je ne comprends pas pourquoi on peut dire que a²/2 appartient à la fonction h(x) = 2x². Pourrais-tu m'expliquer s'il-te-plait ? Ou bien serait-ce tout simplement qu'en prenant l'abscisse de N et en la transformant par la fonction h, tu trouves l'ordonnée de N, ce qui revient à dire que N appartient à la courbe représentative de h ? (je crois que je viens de comprendre en fait).

[Simon]

Oui, c'est ça wizard.

En fait, on nous dit que la fonction h est définie par h(x) = 2x².
Tu connais les coordonnées de N.
Tu remplace donc x par l'abcisse du point N, soit a/2.

Là, tu obtiens l'image de Xn (a/2) par la fonction h.
Or, on voit qu'elle est la même que les coordonées "réelles" du point N qu'on vient de calculer.
Le point N est donc bien sur la courbe représentative de h.

Si le résultat avait été différent, on aurait pu conclure que le Point N n'était pas sur la courbe représentative de h.

[wizard]

D'accord, merci beaucoup Simon ! :-)

Au fait, pour la question 3, si j'ai bien compris et que je me suis pas gourré, il faut bien placer plusieurs points M (au hasard) sur P, placer leurx milieux N, puis relier tous les points N, ce qui nous donne la courbe représentative de h ? C'est bien ça ? (sauf si je me suis encore trompé)