Exemple de lecon

[Sylviel]

Et bien a partir de la première équation tu écris x = ... (une expression avec des constantes et des y),
puis tu remplaces x par son expression dans la seconde équation.

[Peacekeeper]

Bonsoir
J'ai besoin d'aide en math pour un petit exercice:

[2x-5y=12
(S)
[3x+7y=-11

Je dois résoudre le système. Mais je ne sais pas comment faire :$

Merci de me mettre juste sur la piste ;D

Bonsoir,

Il y a plusieurs méthodes. L'une d'entre elles consiste à exprimer x en fonction de y grâce à l'une des égalités (ou l'inverse) et de remplacer x par cette expression dans la seconde.
Une autre consiste à faire des combinaisons linéaires entres les 2 égalités afin de faire disparaître une des 2 variables.

J'espère que ces 2 pistes te permettront de conclure.

[Peacekeeper]

Ah d'accord, merci Normalement le 2x-5y=12 et le 3x+7y=-11 est entre accolade puisqu'il faut résoudre le système (S). *Enfin je pense que vous aviez compris*

Donc:

2x-5y=12
2x=12+5y
x=6+5y/2

3*(6+5y/2)+7y=-11
18+15/2y+7y=-11
15/2y+7y=-11-18
29/2y=-29
y=-29*2/29
y=-2

x=6+5*-2/2
x=6-5
x=1

C'est bien ça ?

Par contre je n'est pas très bien compris la deuxième méthode de peacekeeper...

Je vais te donner un exemple d'utilisation de la seconde méthode:
imaginons ce système:
2x+5y=14 (1)
4x-8y=6 (2)
Je vais pouvoir faire disparaître la variable x en soustrayant à l'équation (2) 2 fois la (1):
(2)-2*(1):
4x-8y-2(2x+5y)=6-2*14
Soit
4x-8y-4x-10y=6-28
donc
-18y=-22
et donc y=11/9
Et il n'y a plus qu'à remplacer y dans l'une des équations pour trouver x. In ze pocket!

[Peacekeeper]

Et oui, ta résolution est exacte.

[Peacekeeper]

Je ne comprend toujours pas :$
J'insiste, puisque je pense que mon prof prefère cette méthode là :$

La deuxième méthode? Elle repose sur un principe tout simple, le théorème qui dit que lorsque tu as
A=B et
C=D alors
A+C=B+D
Tu es d'accord?

[Peacekeeper]

Oui je suis d'accord ^^
Mais j'ai essayer avec mon système et ça me donne:
3x+7y-2(2x-5y)=-11-2*12
Soit 3x+7y-4x+10y=-11-24

Mais après ça ne m'élimine pas le x donc...

Et oui, c'est normal. Dans mon exemple j'ai multiplié par 2 parce que ça collait. :p
je vais te donner le cas général.
Soit (S) le système suivant:
ax+by=c (1)
dx+ey=f (2)

Pour éliminer le x, il va falloir que le coefficient devant le x soit le même dans les 2 équations, pour que lorsqu'on procèdera à la soustraction, les x s'annulent, c'est ce qu'il faut bien comprendre.
Donc, par quoi multiplier (1) pour que le coefficient devant x soit le même que dans (2)?

[Peacekeeper]

Ah ok ^^ Par 3/2 ?

Pour ton système oui (dans le cas général par d/a, tu l'avais compris) c'est pour ça que c'est pas forcément pertinent ici d'utiliser cette méthode, vu que ça introduit du 5/2 dans la première équation. Mais c'est une méthode qu'il faut avoir prête à l'emploi parce que de nombreux systèmes s'y prêtent et que la résolution avec cette méthode est bien plus aisée, élégante et immédiate que par substitution.

Maintenant, rien ne t'empêche de multiplier l'équation 1 par 3 et l'équation 2 par 2, ainsi tu feras apparaître du 6x dans les 2 et la soustraction fonctionne. Donc cette méthode est utilisable sur TOUS les systèmes, mais il faut avoir présent à l'esprit que l'on peut multiplier les équations par ce qu'on veut qui nous arrange.

[Peacekeeper]

D'accord merci

J'essaye quand même avec 3/2 x)

3x+7y-3/2(2x-5y)=-11-3/2*12
3x+7y-3x-6.5=-11-18
7y=-29+6.5
7y=-50/2
y=-50/2*1/7
y=-50/14

Ca marche pas O.o
Tampis je ferais avec la première méthode. Merci

Tu t'es trompé(e) à la deuxième ligne: (3/2)*5=7.5 et non 6.5. De plus, c'est 7.5y et non 7.5, donc impossible de le faire passer de l'autre côté comme tu l'as fait.
Tu vois, l'apparition du 5/2 ne nous facilite pas la vie, si tu veux utiliser cette méthode, je te conseille vivement de multiplier la première équation par 3 et la seconde par 2 puis de les soustraire, c'est bien plus facile et moins erreurogène.

[Peacekeeper]

J'ai effectuer une modification de mon dernier post je ne sais pas si tu a vu


Alors:*
[2x-5y=12
[3x+7y=-11

3(2x-5y)=12*3
6x-15y=36

2(3x+7y)=-11*2
6x+14y=-22


-1y=58 ? Toujours pas :$ Je crois que je vais faire avec la premiere méthode :$

Encore une petite erreur de calcul: tu as soustrait la première à la seconde, donc 14y-(-15y)=14y+15y
Ce qui te donne 29y=58 soit y=-2, ça marche.

Non, je n'avais pas vu ta modification, désolé... :/

[Peacekeeper]

Pour la remarque de ton prof, si un des coefficients est nul, ça te donne directement (ou presque) la valeur de l'une des inconnues, il te reste à substituer dans l'autre équation.
Et pour la méthode par combinaison linéaire ça la rend plus simple, puisqu'il n'y a pas à multiplier la seconde inconnue, mais en revanche, tu n'as plus le choix sur la variable que tu veux annuler. Mais sinon la méthode fonctionne de la même manière.

[Peacekeeper]

Ok mais ça veut dire que je dois faire:

Si x=0 alors
2*0-5y=12
-5y=12
y=-12/5
....Ce qui veut dire que ce que j'ai fait avant est faux ? --'

Euh, ton prof a parlé d'un coefficient nul, pas d'une inconnue nulle...