J'ai un exercice de Spé Maths à faire pour la rentrée, que j'ai fini, mais mon résultat semble erroné : quand un exercice demande de décoder un mot, en général le mot décodé a un sens, le mien n'en a pas. Puisqu'il y a une notion que je n'ai pas bien comprise, je me suis dit que ca venait sûrement de là.
Je vous mets l'exo avec mes réponses, bien qu'un peu long pour le peu que j'ai besoin.
On affecte à chaque entier compris entre 0 et 32 une lettre de l'alphabet ou un autre symbole (on affecte A à 0, B à 1, ..., Z à 25,
à 26, à 27, ...), puis on fait subir à chacun de ces entiers x la transformation f suivante : x -> y, où y est le reste dans la division euclidienne par 33 de x^3. On note C = {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 32}. La clé de codage est formée de 3 et de 33.(c'est cette dernière phrase que je ne parviens pas à cerner)
1. Coder le mot MYRIAM.
Déjà on doit établir (si on veut avoir une bonne présentation) la fonction qui correspond à la transformation : y ou f(x) = x^3 - 33b (0 M.
- Y se chiffre en 24. f(24) = 30 car 24^3 =c 30 [33]
Donc Y ->
.- R se chiffre en 17. f(17) = 29 car 17^3 =c 29 [33]
Donc R ->
.etc. : f(8) = 17 : I -> R. f(0) = 0 : A -> A.
On arrive à MYRIAM se code en M;);)RAM.
2. a) Montrer que 3 et 20 sont premiers entre eux et écrire la relation de Bézout correspondante.
20 = 3*6 + 2
3 = 2*1 + 1
2 = 1*2 + 0
20*(-1) + 3*7 = 1. 3 et 20 sont bien premiers entre eux puisqu'il existe des entiers tels que 20x + 3y = 1.
b) Soit x un entier. Montrer que x^21 =c x [3] et x^21 =c x [11]. En déduire : x^21 =c x [33].
D'après le petit théorème de Fermat : x^3 =c x [3]. Donc (x^3)^3 =c x^3 [3], soit x^9 =c x [3].
(x^9 * x^9 * x^3 = x^21) x^9 * x^9 * x^3 =c x^3 [3], donc x^21 =c x [3].
D'après le petit théorème de Fermat : x^11 =c x [11] et x^(11-1) =c 1 [11].
On fait le produit, ce qui nous donne x^21 =c x [11].
x^21 a le même reste dans la division euclidienne par 3 et 11, donc il aura le même reste dans la division euclidienne de leur produit, soit 33. Donc x^21 =c x [33]. (je suis pas sûr qu'on puisse le justifier comme ça)
3. Montrer que, si f(x) = f(x'), alors x = x'. En déduire que deux éléments différents de C ont deux images différentes par f.
Si f(x) = f(x'), alors x^3 =c x'^3 [33].
Donc (x^3)^7 =c (x'^3)^7 [33]
Ce qui donne x^(3*7) =c x'^(3*7). Or, la relation de Bézout nous donne : 20*(-1) + 3*7 = 1, donc 3*7 = 1 + 20 (un peu débile mais bon).
Donc x^21 =c x'^21 [33].
Comme x^21 =c x [33] et que x^3 =c x'^3 [33], x'^21 =c x [33].
Ce qui revient donc à x =c x' [33] et comme x et x' sont compris entre 0 et 32, x = x'.
On en déduit donc que si x est différent de x', leurs images f(x) et f(x') sont différentes.
4. Soit x et y éléments de C tels que y =c x^3 [33]. Montrer que y^7 =c x [33]. La clé de décodage est formée des entiers 7, 11 et 3.
(c'est cette autre phrase que je n'arrive pas à cerner, d'où ma possible erreur)
y^7 =c (x^3)^7 [33] donc y^7 =c x^21 [33]. Comme x^21 =c x [33], y^7 =c x [33].
5. Décoder alors le mot ULCVCQI.
On doit donc chercher le reste dans la division euclidienne par 33 de y^7.
- U se chiffre en 20. x = 26 car 20^7 =c 26 [33].
Donc U ->
.etc. : x(L) = 11 ; x(C) = 29 ; x(V) = 21 ; x(Q) = 25 ; x(I) = 13.
Donc ULCVCQI se décode en
L;)V;)ZN.FIN DE L'EXO.
Pour moi ce mot ne veut rien dire, erreur ?
Merci pour vos éventuelles explications !
Cordialement
Edit : je viens de me rendre compte que j'avais une faute dans la 5, x(I) = 2, donc ce n'est pas I -> N mais I -> C. Donc ULCVCQI se décode en
L;)V;)ZC.
