étudier le signe d'une fonction

[Coquelicot]

Bonjour,

On me demande dans un premier temps de déterminer la dérivée de f, puis d'en déduire son sens de variation.

définie sur ]0;+oo[

f(x) est de la forme u + v avec u = ln (2x) et
on a donc
et



Une exponentielle étant toujours strictement positive donc f'(x) est du signe de positive

J'en conclu que f est croissante sur l'intervalle ]0;+oo[

Maintenant, on me demande d'étudier le signe de f sur ]0;+oo[
Sur ma calculatrice, je remarque bien que lorsque x1 :go: les valeurs de f(x) sont positives.
Mais comment le démontrer ? avec la dérivée? :hein:

Merci :happy2:

[Ben314]

Salut,
Ta dérivée de u est fausse (mais ça ne change pas le signe de f').

Si tu fait le tableau de variation de f (c'est la première chose à faire) tu doit voir que f est croissante et que ces limites respectives en 0+ et +oo sont -oo et +oo.
Tu en déduit qu'elle s'annule une seule fois en un point xo, qu'elle est négative "avant" xo et positive "aprés" xo.
Sauf que, contrairement à ce que tu affirme, xo n'est pas égal à 1.

[Coquelicot]

Salut,
Ta dérivée de u est fausse (mais ça ne change pas le signe de f').

La dérivée de ln(x) n'est elle pas :
c'est pourquoi j'ai :look: enfin, je vous crois! je vais relire mon cours !

Tu en déduit qu'elle s'annule une seule fois en un point xo, qu'elle est négative "avant" xo et positive "aprés" xo.

Justement, la question suivante me demandais de démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution s comprise entre 0,5 et 1...

J'ai donc préciser que les 3 conditions suivantes doivent être vérifiées:
-f est dérivable sur [0,5;1]
-f est strictement croissante sur [0,5;1]
-f(0,5)=-0,368
-f(1)=0,558
ainsi, f(0,5) et f(1) sont de signes opposés

Les 3 conditions sont bien vérifiées: l'équation f(x)=0 admet une seule solution dans [0,5;1]

Il faut retrouver la solution de l'équation avec la calculatrice.
J'ai utilisé la fonction SOLVE de la façon suivante:
SOLVE (ln (2x)-e^1(-2x),x,{0,5,1})=0,6549

[Ben314]

Ca me parrait O.K.
Pour ce qui est de la dérivée de ln(2x) : deux méthodes (qui évidement donnent le même résultat !!!) :
1) ln(2x)=ln(2)+ln(x) et, comme ln(2) est une constante,
la dérivé est 1/x.
2) ln(2x)=ln(u) où u=2x et la dérivée de ln(u) est u'/u donc
ici c'est 2/(2x)=1/x.

[Coquelicot]

Un grand merci pour votre aide !!! :king2: