Études des fonctions

[Demgo]

Bonjour à tous s'il vous plaît j'essaie de déterminer le Domaine de définition de la fonction suivante
F(x)= sin x / ( cos x + sinx) besoin d'indications

[hdci]

Bonjour,
Le domaine de définition sera tel que le dénominateur ne s'annule pas.
Le dénominateur est nul pour , soit .

Or on sait que

Sachant que , on en déduit aisément les valeurs possibles pour le cosinus qui annulent le dénominateur, ce qui donne un ensemble de réels x susceptibles d'annuler le dénominateur. Si on se retreint à la mesure principale (entre -pi et pi), cela fait exactement 4 valeurs possibles pour x.

Il n'y a plus qu'à identifier ceux parmi ces quatre qui ont un sinus opposé au cosinus (il y en a deux). On en déduit le domaine de définition restreint à la mesure principale, puis par périodicité le domaine de définition dans IR.

[Demgo]

En remplaçant les expressions cos ^2 x + sin ^2 =1 dans l'expression sinx+cosx=0 on obtient 2cos^2 x = 1
=> cos x = √2/2 => cos x = cos π/4
La résolution donne x= π/4 + 2kπ ou x =-π/4 +2kπ
Est ce exact ?

[hdci]

Oui, et non.

est correct, et cela implique bien

Mais cela n'implique pas ; il manque quelque chose.

Comment résolvez-vous l'équation ? Il n'y a pas qu'une seule solution...

[Demgo]

Ah OK vraiment désolé je vois je vais réessayer

[Carpate]

Variante qui évite les solutions parasites dues à l'élévation au carré :

Les zéros de cette expression sont donc donnés par
soit

On aurait pu voir directement sur le cercle trigonométrique les positions où le sinus et le cosinus ont une valeur opposée ...

[hdci]

Effectivement,

mais au niveau lycée, les formules trigonométriques ne sont pas au programme (sauf les plus ou moins pi et plus ou moins pi/2).

[Demgo]

J'ai finalement trouvé 3π/4 qui correspond à la seule valeur qui annule l'expression et dont les valeurs sont opposées
Donc mon domaine de définition est R-{3π/4}

[hdci]

Non ce n'est pas la seule solution.

Quelles sont les 4 valeurs possibles pour que le cosinus soit égal à ? Vous en avez donné deux au début, vous en donnez une troisième, quelle est la quatrième ?

Pour chacune de ces valeurs, quel est le sinus ?

[Demgo]

J'ai procédé à la résolution de cet équation
Cos x = √2/2 ou cos x = -√2/2.
Je parviens alors à
X=π/4.+ 2kπ
X=-π/4 + 2kπ
X=3π/4+2kπ
X=-3π/4+2kπ

[Demgo]

Je déduis à l'aide du tableau trigonométrique que le seul x qui vérifie l'équation cosx=-sinx est 3π/4
C'est correct ?

[mathelot]

Je déduis à l'aide du tableau trigonométrique que le seul x qui vérifie l'équation cosx=-sinx est 3π/4
C'est correct ?

non, hélas.




d'où




d'où deux points sur le cercle trigo d'abscisses curvilignes et