Etude d'une suite homographique

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, j'ai donc décidé de m'y prendre assez tôt car j'ai un peu de mal, voici mon exercice:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] -1/2; + l'infini [ par f(x)= (3x)/(2x+1)

On considère la suite définie pour tout n appartenant à N par: U0= 1/2 et Un+1 = (3Un)/(2Un+1)

1. Étudier les variations de f et tracer la représentation graphique

Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 soit dans mon tableau + - + mais je n'arrive pas à tracer, dois-je juste faire les variations soit croissante, décroissante, croissante ?

2. Calculer U1 et U2

U1 = 1/4 et U2 = 1/2

3. Étude de la convergence de Un

a. Montrer par récurrence que 0 < Un < ou égal à 1

Initialisation : 0 < Un soit 0 < U0 soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0

Hérédité: supposons que Un > 0 et montrons que Un+1 > 0 Un+1 = ( 3Un)/(2Un +1) soit (3*1/2)/(2*1/2 +1) = 3/4 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : Un < ou égal à 1 n=1 1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1

Hérédité : Supposons que 1 > ou égal à Un et montrons que 1 > ou égal à Un+1 soit (3*1)/( 2*1 +1) = 1 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un < ou égal à 1 ' est vraie et elle est héréditaire.

b. Montrer que Un+1 - Un = 2Un * (1-Un)/(2Un+1)

J'ai penser faire un produit en croix mais je me suis totalement perdue..

c. En déduire que Un+1 - Un > ou égal à 0, que peut-on en conclure sur le sens de variation de Un

Je n'ai pas réussi

d. A l'aide du théorème 4 du cours que l'on admettra, montrer que Un converge

Je n'y arrive pas non plus

4. Calcul de limite de Un

Soit Un la suite définie pour tout n appartenant à N par Vn = ( Un)/(1 - Un)

a. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn

j'ai donc fais Vn+1 - Vn et j'arrive à ( 3Un)/( 2Un +1) - ( 2Un+1)/(-6Un2 -3Un)..

b. En déduire que Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison

V0 = 1/4 V1 = 3/16 V2 = 1/4 Je trouve que du premier au deuxième terme on fait * 3/4 mais pour la suite sa ne colle pas du coup je ne sais pas la raison exacte

c. Exprimer Vn en fonction de n

Je n'y arrive pas, j'ai juste commencer par Vn = ( Un)/( 1 - Un)

d. Exprimer Un en fonction de Vn

Or je ne comprend pas car nous n'avons pas la suite Un

5. Ma photo ne veut pas charger donc je ne sais pas comment vous décrire ce qu'il y a de marquer, il y a le grand E mathématiques avec k=7 au dessus et k=0 en dessous avec à côté du E Vk. La question est de le calculer

6. En conclure que Un = ( 3n)/( 1 + 3n)

7. Montrer que Un = (1)/( 1 + (1/3)^n) En déduire la limite de Un

Je suis complétement perdue pour ces questions..

J'aimerais juste des explications pour que je puisse le faire tout en comprenant pourquoi je n'y arrive pas, merci d'avance !

[Pseuda]

Bonsoir,

1) Pour étudier les variations de f, il faut étudier le signe de sa dérivée (et non pas le signe de la fonction, qui n'a aucune importance pour sa variation).

Petite remarque : 3x=0 si et seulement si ..... ? (ce n'est pas x=-3).

[Pseuda]

2) ce n'est pas ça pour U1.

3) tu n'as démontré l'hérédité que pour passer de n=0 à n=1 ; il faut démontrer l'hérédité pour tout n entier naturel

[chacha778]

Bonsoir, oui pour 3x je me suis aperçue de mon erreur
Pour la 2 j'ai également refais mes calculs et je trouve 3/4 et 9/10 pour U2

[Pseuda]

3b) pour calculer Un+1-Un, il faut remplacer Un+1 par son expression en fonction de Un et tout mettre au même dénominateur (comme si Un était un x).

[chacha778]

Un+1-Un =3Un/(2Un+1)-Un= (3Un-Un-2(Un)2)/(2Un+1)= 2Un*(1-Un)/(2Un+1) ?

[Pseuda]

Hello,

Oui c'est ça. Du coup, avec 0 < Un <= 1, c'est facile de montrer que la suite (Un) est croissante.

[chacha778]

Bonjour, oui en effet je trouve du coup que Un est croissante