Etude d'une spirale obtenue a partir d'un carré

[lilycerise]

Bonjour, pourriez vous m'aider j'ai des difficultés à réaliser cet exercice

A. Construction
Dans un repère orthonormal direct (O;,) le carré OABC est tel que :
A (-1;0) ; B (-1;-1) ; C (0;-1)
Les rotations d'angles /2 et de centres respectifs O,A,B,C sont notées rO , rA , rB , rC

1. Placez le point MO = C , puis M1 , M2 , M3 , M4 tels que :
rO(MO) = M1 ; rA(M1) = M2 ;
rB(M2) = M3 ; rC(M3) = M4 .

2. Continuez le processus pour M5 , M6 , M7 , M8 , ... avec :
rO(M4) = M5 ; rA(M5) = M6 ;
rB(M6) = M7 ; rC(M7) = M8 .

B. Des alignements

1. Prouvez que vecOM0 , vecOM4 , vecOM8 , vecOM12 , ... sont des vecteurs colinéaires et de même sens.

2. Enoncé un résultat analogue à partir des points M1 , M5 , M9 , ... ; M2 , M6 , M10 , ... ; M3 , M7 , M11 ...

3. Sur quelles demi-droites sont M20 ? M2 005 ?

C. Calculs de longueurs

1. Prouves que M0M4 = 4

2. Démontrez en utilisant les rotations que :
M0M4 = M1M5 = M2M6 = M3M7 = ...
Ainsi pour tout entier k, MkMk+4 est constant.

D. Calculs de longueurs d'arcs

Les arcs succesifs M0M1 , M1M2 , ... , Mn-1Mn' , ... forment la spirale.
On note Ln la longueur du trajet de MO à Mn.

1. a) Démontrez que Ln = pi/2 /(1+2+3+...+n).

b) Pourquoi Ln = (pi*n(n+1))/ 4 ?

2. Peut-on trouver un point Mn sur la spirale tel que la longueur Ln soit égale à la distance parcourue en neuf tours du cercle trigonométrique?



J'ai fais la partie A mais après je bloque.
Merci à ceux qui pourront m'aider

[oscar]

figure


http://img197.imageshack.us/i/spiralelarousse.gif/

[oscar]

Spirale

http://img101.imageshack.us/i/spiralelarousse.jpg/

[oscar]

Bonsoir
A) réalisé
B) 1)
OM0; OM4: OM 8;.. colinéaires
2)OM1: OM5: OM9 colinéaires
3..

C) Complète

D) Pour demain
Cherche

[oscar]

Re Ln = pi/2 * 1 + pi/2 *2+ pi/2 * n
= pi/2 ( 1 +2 +...n)
mais(1+2+ )- est la somme des n termes d' une suite arithmétique de raison 1
dont la somme est n * ( 1+n)/2
Donc Ln=