[Term S] Étude d'une relation fonctionelle + Encadrement fac

[Sharpen]

Salut tout le monde :we: ,

Alors voilà, avec un pote on a reçu un DM à faire pour la rentrée, dont deux exercices qui nous bloquent.

Encadrement de e

Soit n un entier naturel, n 2, et les fonctions f et g définies sur [0 ; 1] par :





a) Déterminer le sens de variation de f et de g et en déduire que f(1) 1.

Dès la première question, on ne comprends pas. On ne sait pas à quoi va ressembler la courbe, et on ne sait pas quelle démarche utiliser pour répondre à cette question.

Étude d'une relation fonctionnelle

On désigne par f une fonction dérivable sur R qui vérifie les propriétés suivantes :
(A) pour tout réel x, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1 ;
(B) f'(0) = 1 ;
(C) la fonction f' est dérivable sur R

Nous avons répondu aux deux premières questions (calculer f'(0) et justifier que f'(x) 0), mais nous bloquons cette fois-ci à la troisième question :

3) En dérivant les deux membres de l'égalité de la proposition (A), démontrer que pour tout nombre réel x, f''(x) = f(x).

À ce point, nous ne comprenons pas comment dériver les fonctions alors que l'on ne connait que leur nom (à savoir f(x) et f''(x)).

Nous aimerions beaucoup comprendre les démonstrations que l'on doit utiliser, ça nous bloque vraiment, surtout qu'ils sont assez long.
Merci et a plus :lol3: .

[Carpate]

Salut tout le monde :we: ,

Alors voilà, avec un pote on a reçu un DM à faire pour la rentrée, dont deux exercices qui nous bloquent.

Encadrement de e

Soit n un entier naturel, n 2, et les fonctions f et g définies sur [0 ; 1] par :





a) Déterminer le sens de variation de f et de g et en déduire que f(1) 1.

Dès la première question, on ne comprends pas. On ne sait pas à quoi va ressembler la courbe, et on ne sait pas quelle démarche utiliser pour répondre à cette question.

Étude d'une relation fonctionnelle

On désigne par f une fonction dérivable sur R qui vérifie les propriétés suivantes :
(A) pour tout réel x, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1 ;
(B) f'(0) = 1 ;
(C) la fonction f' est dérivable sur R

Nous avons répondu aux deux premières questions (calculer f'(0) et justifier que f'(x) 0), mais nous bloquons cette fois-ci à la troisième question :

3) En dérivant les deux membres de l'égalité de la proposition (A), démontrer que pour tout nombre réel x, f''(x) = f(x).

À ce point, nous ne comprenons pas comment dériver les fonctions alors que l'on ne connait que leur nom (à savoir f(x) et f''(x)).

Nous aimerions beaucoup comprendre les démonstrations que l'on doit utiliser, ça nous bloque vraiment, surtout qu'ils sont assez long.
Merci et a plus :lol3: .

est une fonction composée de la forme avec
se dérive en soit en revenant à f :

De même

[Carpate]

Salut tout le monde :we: ,

Alors voilà, avec un pote on a reçu un DM à faire pour la rentrée, dont deux exercices qui nous bloquent.

Encadrement de e

Soit n un entier naturel, n 2, et les fonctions f et g définies sur [0 ; 1] par :





a) Déterminer le sens de variation de f et de g et en déduire que f(1) 1.

Dès la première question, on ne comprends pas. On ne sait pas à quoi va ressembler la courbe, et on ne sait pas quelle démarche utiliser pour répondre à cette question.

Étude d'une relation fonctionnelle

On désigne par f une fonction dérivable sur R qui vérifie les propriétés suivantes :
(A) pour tout réel x, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1 ;
(B) f'(0) = 1 ;
(C) la fonction f' est dérivable sur R

Nous avons répondu aux deux premières questions (calculer f'(0) et justifier que f'(x) 0), mais nous bloquons cette fois-ci à la troisième question :

3) En dérivant les deux membres de l'égalité de la proposition (A), démontrer que pour tout nombre réel x, f''(x) = f(x).

À ce point, nous ne comprenons pas comment dériver les fonctions alors que l'on ne connait que leur nom (à savoir f(x) et f''(x)).

Nous aimerions beaucoup comprendre les démonstrations que l'on doit utiliser, ça nous bloque vraiment, surtout qu'ils sont assez long.
Merci et a plus :lol3: .

Pour dériver f et g, il faut remarquer que

[Sharpen]

Merci pour tes réponses.

Pour l'étude de relation fonctionnelle, je pense avoir compris et, même si la suite a l'air rude, je pense pouvoir m'en sortir.

Cependant, je n'ai toujours pas compris l'encadrement de e. J'ai bien compris le principe de la dérivée dans ce cas, mais ce qui me pose problème, c'est le n. La dérivée sera-t-elle a taille fixe (avec un n défini), ou avec un n indéfini ? Dans le second cas, faut-il aussi ajouter des pointillés ?

Merci encore pour tes réponses.

[Sharpen]

Finalement, j'ai trouvé que f(x) est décroissant sur [0 ; 1] et g(x) est croissant sur [0 ; 1]. J'espère qu'il s'agisse de la bonne réponse.

[Carpate]

Merci pour tes réponses.

Pour l'étude de relation fonctionnelle, je pense avoir compris et, même si la suite a l'air rude, je pense pouvoir m'en sortir.

Cependant, je n'ai toujours pas compris l'encadrement de e. J'ai bien compris le principe de la dérivée dans ce cas, mais ce qui me pose problème, c'est le n. La dérivée sera-t-elle a taille fixe (avec un n défini), ou avec un n indéfini ? Dans le second cas, faut-il aussi ajouter des pointillés ?

Merci encore pour tes réponses.

Par exemple en prenant une notation condensée (convention , 0! = 1) :

[Sharpen]

C'est exactement ce qu'il me fallait pour la suite. Merci beaucoup, je n'avais pas du tout pensé à cette simplification :we: .