TS - Etude d'une fonction trigonométrique

[Alexndraide]

Bonjour,

je rencontre quelques difficultés sur le sujet suivants :

On considère une fonction f définie sur R par f(x)=(1+cos x)cos x.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Etudier la parité de f
2) montrer que f est périodique de période 2 π
3) justifier que f est dérivable sur R et pour tout réel x : f'(x) = -(1+2 cos x)sin x.
4) résoudre 1 + 2 cos x = 0 puis 1 + 2 cos x > 0 sur [0; π]
5) Dresser le tableau de signes de f'(x) sur [0; π] et en déduire le tableau de variations de f sur cet intervalle.
6) démontrer soigneusement que l'équation f(x)=1 a une unique solution sur [0; π]. Donner une valeur approchée à 0,01 près de cette solution.

1) ok : f est paire
2) ok : on retombe sur f
3) ok
4) ici je trouve cos x = -1/2 donc par propriété cos x = 1/2 donc x = π/6
Mais je ne crois pas que ce soit bon...
5) je suppose que la 4 est fausse car dans mon tableau de signe, f décroit sur [0; π/6] et croit sur [0; π/6]. Or je sais qu'elle décroit sur un intervalle plus grand mais je n'arrive pas à trouver comment faire. Pourriez-vous m'aider svp ?
6) Il faut faire un TVI : montrer que f est continue (ok) et ensuite l'encadrer entre deux réels pour montrer que f(x)=1 appartient à [f(a);f(b)]. J'ai essayé avec 0 et π mais ça ne marche pas. Pourriez-vous m'aider svp ?

Par avance, merci pour votre aide,

Cordialement,

[chan79]

4) ici je trouve cos x = -1/2 donc par propriété cos x = 1/2 donc x = π/6
Mais je ne crois pas que ce soit bon...

salut
ce qui est vrai, c'est que

Mais quel est le nombre réel compris entre 0 et dont le cosinus est ?
C'est du cours, je dirais qu'il faut le savoir par coeur. Il faut avoir en tête le cercle trigonométrique.

[Lostounet]

Peux-être que tu as confondu avec le fait que cos(x)=cos(-x).

C'est pas pareil que cos(x)=y et cos(x)=-y

[Alexndraide]

Bonjour,

Merci pour vos retours.

Effectivement, en arrivant à cos x = -1/2
la réponse serait 7π/6 sur [0;π] ?

Du coup pour la question 5 : f' est négative sur [0;7π/6] donc f décroit et f' est positive sur [7π/6:π] et f est croissante ?

Mais comment faire la question 6 svp ?

[pascal16]

un p'tit tracé de f :


la réponse serait 7π/6 sur [0;π] ? 7π/6 est-il dans [0;π] ?


pour la 2) montrer que f est périodique de période 2 π
-> si pour tout x, f(x)=f(2π+x), 2π est une période de f. LA période de f est la plus petite période possible. LA période est forcément un sous-multiple de 2 π . A ce stade du sujet, c'est pas évident de le montrer. Le tracé de la courbe permet de de voir que aucune valeur de type 2 π/n n'est possible, 2 π est donc la plus petite, c'est la bonne.

[chan79]

Salut
On pourrait ajouter:
si p est une période de f alors f(p)=f(0+p)=f(0)=2
soit cos²(p)+cos(p)-2=0
on trouve cos(p)=0
est donc la plus petite période strictement positive.
Tu peux essayer avec g(x)=cos²(4x)

[Ben314]

Salut,
Personnellement, j'ai toujours considéré que, face à la question "Montrer que f est périodique de période 2.pi", ce qu'on doit montrer, c'est uniquement que 2.pi est UNE des périodes de f et pas que c'est LA période de f.
Et ça m'intéresserais fort de savoir dans quel ouvrage il est écrit (voire même sous entendu) que l'expression "f est périodique de période T" signifiait que T est LA période de f.

[Alexndraide]

Finalement la réponse à 1+ 2cos x = 0 est 2pie/3. J'ai vérifié le cercle trigonométrique.

[chan79]

Finalement la réponse à 1+ 2cos x = 0 est 2pie/3. J'ai vérifié le cercle trigonométrique.

oui, mais, s'il te plaît, écris ou, à la rigueur 2pi/3, mais pas de e