Etude d'une fonction

[Pierrot75]

Bonjour à tous,

Pourriez-vous me dire si mon raisonnement est bon:

*** Il faut montrer que x € ]0;1[ ==> f(x) 1 ==> f(x) > 1


où f est la fonction (x-1)/ ln(x)


Mon raisonnement me paraît un peu "léger": je me suis contenté de dire que si x € ]0;1[, (x-1) < 0 et ln(x) < 0

pourriez vous me dire si ça va ?


*** Plus tard dans l'exercice, je dois étudier la dérivibalité de f à droite en 0:
J'obtiens: lim ( (x-1) / x ln(x) )
Si je mets x en facteur au numérateur et que je simplifie par x en haut et en bas, j'obtiens:
lim ( (1- 1/x) / ln(x) )
C'est là où j'ai un problème, puis-je dire que 1-1/x est négligeable devant ln(x) en 0 ? Si oui, je trouve alors 0 et donc f ' (0) = 0.




Merci à vous de bien vouloir me répondre.

[Pierrot75]

Ne peut-on pas utiliser le fait que xln(x)=0 lorsque x tend vers 0+ pour la deuxième partie de ma question ?

[Sa Majesté]

Pourriez-vous me dire si mon raisonnement est bon:
*** Il faut montrer que x € ]0;1[ ==> f(x) 1 ==> f(x) > 1

où f est la fonction (x-1)/ ln(x)

Mon raisonnement me paraît un peu "léger": je me suis contenté de dire que si x € ]0;1[, (x-1) < 0 et ln(x) < 0
pourriez vous me dire si ça va ?

Non ça ne va pas
J'ai réussi en étudiant la fonction f

*** Plus tard dans l'exercice, je dois étudier la dérivibalité de f à droite en 0:
J'obtiens: lim ( (x-1) / x ln(x) )

Cela me semble délicat d'étudier la dérivabilité d'une fonction en un point qui se trouve en dehors de son domaine de définition !
Il faut d'abord prolonger f par continuité en 0 (ce qui est possible ici).

Ne peut-on pas utiliser le fait que xln(x)=0 lorsque x tend vers 0+ pour la deuxième partie de ma question ?

Excellente idée :++:

[Pierrot75]

Oui j'ai déjà montrer le prolongement par continuité en 0, donc si j'utilise le fait que xln(x)=0 quand x tend vers 0+, j'obtiens une limite infinie et donc la fonction n'est pas dérivable en 0.

Par contre, je ne comprends toujours pas comment prouver que f(x)<1 ou >1 selon les valeurs prises par x??? :cry: :triste:

pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

[Sa Majesté]

Tu peux y arriver en étudiant les variations de f

[Pierrot75]

Le souci, c'est que l'étude de la fonction fait l'objet des questions suivantes.

Donc je me demande s'il n'y a pas un autre moyen et notamment de faire f(x)-1 ?

[Fitz]

Pour la première partie :

il faut que tu prouves que pour x € ]0,1[ (x-1) < ln(x)
et que pour x>1 (x-1) > ln(x)

[Sa Majesté]

Oui je comprends
Tu peux alors peut-être utiliser le résultat suivant : la courbe représentative de la fonction ln est toujours au-dessous de ses tangentes
En particulier la tangente au point d'abscisse 1 a pour équation y=x-1
Donc pour tout x>0 on a lnx < x-1
Suivant la position de x par rapport à 1 tu obtiens le résultat recherché