Etude d'une fonction ln

[ze_wisdom]

Bonjour, petit exercice qui nécessite une correction svp :

On considère la fonction numérique g définie sur [0;1] par :
g(t)=(1-exp(-t))*ln(t) pour o<t<1
g(0)=0
1. Démontrer que lim(1-exp(-t))/t =1 quand t tend vers 0
J'ai essayé avec lim (exp(x)-1)/x = 1 quand x tend vers 0
On pourrait aboutir à lim (1-exp(t))/t = -1 quand t tend vers 0
donc lim (1-exp(-t))/t = 1 quand x tend vers 0 ?

2.Démontrer que g est continue sur [0;1]. Etudier la dérivabilité de g sur [0;1] et démontrer que pour tout réel t de ]0;1] :
g'(t)=[exp(-t)/t]*(t*ln(t)+exp(t-1)).
Je crois que pour démontrer qu'une fonction est continue il faut dire que g(0)=0, mais je ne suis pas sure.
Pour g'(t), j'ai trouvé :
g'(t) = exp(-t)*ln(t)+(1-exp(-t))/t
Pour la derniere question je n'ai pas réussi.

3. Soit la fonction numérique f définie sur ]0;1] par f(t)= t*ln(t)+exp(t-1). Etudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f'. Montrer que f' s'annule une seule fois sur ]0;1] pour une valeur t1 (on ne calculera pas t1).
f'(t) = ln(t)+1+exp(t-1)
Je pense que le signe de f'(t) dépend de exp(t-1) ?

[math*]

1) comment on arrive à la limite que tu as donné : (e^x-1)/x ?
Tu utilises la même méthode pour déterminer la limite avec t.

[ze_wisdom]

C'est une limite usuelle de exponentielle.

[Purrace]

Pour la 1 ta fonction c'est 1-e^(-t)/t ou (1-e^(-t)/t ?