Étude d’une fonction

[iris75]

Bonjour je bloque sur quelques questions et j’aimerais avoir un peu d’aide silvouplait.

Un logiciel de calcul formel nous donne f ‘´ (x) = 10 / ( x - 2 )^3
1 . a) étudier la convexité de la fonction f sur R \ { 2}
b) en déduire la position relative de la courbe (C) par rapport à la tangente (T) sur ]2 ; + infini[
2. a) à l’aide du corolaire du théorème des valeurs intermédiaire , justifiez que l’équation f(x) = 15 admet deux solutions sur l’intervalle ] 2 ; + infini[. On notera les solutions alfa et beta telles que alfa < beta
b) Encadrer alfa et beta a 10^-2 près
3. a) Étudier le signe de f(x) - (x + 5 ) sur R \ {2}
b) en déduire la position relative entre la courbe (C) et la droite (D) d’équitation y = x + 5

Merci beaucoup

[Carpate]

Sur quelles questions bloques-tu? et qu'as-tu déjà fait ?

[iris75]

Sur toutes je comprend rien

[Carpate]

fonction définie sur un intervalle I convexe sur I : courbe située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes <=> f'' > 0
Exemple f : R --> R+ , x --> x^2

[pascal16]

1 . a) étudier la convexité de la fonction f sur R \ { 2}

ici, comme déjà dit, on commence par étudier le signe de f"

là où dans le tableau des signes de f" on a un +, f est convexe
là où dans le tableau des signes de f" on a un -, f est concave

[iris75]

J’ai mis que f´´ x = 10/ (x-2)^3
On pose X = x -2
La dérivée de x^3 est 3x^2 donc
3 * (x-2)^2
3 * ( x^2 - 4x + 4)
3 x^2 -12x + 12
Et après on calcule la dérivée pour savoir ou ça s’annule près de 0

[iris75]

Fin ça c’est la 4 a) mais je comprend rien alors ça doit être du charabia

[pascal16]

f´´ x = 10/ (x-2)^3
a priori, on te donne f"

x-2=0 -> valeur interdite
x-2 >0 implique (x-2)^3 >0 implique f"(x) >0
x-2 <0 implique (x-2)^3 <0 implique f"(x) <0

il n'y a plus qu'à conclure pour la convexité (sous forme d'intervalles ou x< .... )

[iris75]

Je parais vraiment penible mais je ne comprend toujours pas comment faire

[Carpate]

Tu peux démultiplier ton tableau de signe en renseignant successivement le signe de x-2, de (x-2)^3 puis de 10/(x-2)^3 et en veillant à la valeur "interdite".

[iris75]

Vous pouvez parler plus simplement ?

[Carpate]

M'enfin j'utilise des mots simples et qui devraient t'être familiers .
Tu fais un tableau de signe avec une ligne pour x-2, une ligne pour (x-2)^3, une ligne pour 10/(x-2)^3
Il y a plus rapide mais ...

[iris75]

D’accord et pour le reste ?

[iris75]

Mais fin c’est incompréhensible votre truc

[iris75]

Help

[pascal16]

f´´( x) = 10/ (x-2)^3
NB : qund on ne regarde que le signe, multiplier au diviser c'est pareil
"- * -" et "-/- " donnent "+"


x-2=0 -> valeur interdite
x=2 est donc la valeur interdite

x+2 est une fonction affine avec "a >0", donc en signe - 0 +

variable x -oo 2 +oo
signe de f" - || +
f concave || convexe

b) en déduire la position relative de la courbe (C) par rapport à la tangente (T) sur ]2 ; + infini[
-> regarder ce que veut dire f convexe et sa position relative rapport à ses tangentes dans le cours

[pascal16]

f(x) = 15 admet deux solutions sur l’intervalle ] 2 ; + infini[
-> on a pas f.

TVI
(1) dire que f est continue sur ] 2 ; + infini[
(2) trouver deux couples de valeurs a et b telles que f(a) et f(b) soient l'une au dessus et l'autre en dessous de 15
(3) avec les variations de f, on montre que chacune de ces solutions est unique

2.b -> calculette, geogebra, petit programme de dichotomie ...


3. a) et b) (on a pas f)

f(x) - (x + 5 ) <0 : f en dessous de la droite y=x + 5
f(x) - (x + 5 ) >0 : f en dessus de la droite y=x + 5

[iris75]

Je bloque sur la b et la position relative

[iris75]

Enfaite non c’est bon je bloque sur la 3. Enfaite on a f(x)
F(x) = x + 5 + (5/x-2)

[pascal16]

F(x) = x + 5 + (5/x-2)

la courbe représentative est en gros une fonction "1/x" greffée sur la droite y=x+5

F(x) - (x+5) = x + 5 + (5/x-2) - (x+5) = 5/(x-2)
même explication que déjà donnée , les signes sont :
-oo 2 + oo
-- || ++
pour x<2 F est en dessous de la droite y=x+5
pour x>2 F est en dessus de la droite y=x+5