Etude d'une fonction

[Cameliaa.rose-xO]

Coucou tout le monde,
Voilà j'ai un DM à faire et j'aimerai bien avoir quelques pistes pour mieux comprendre.

Soit f la fonction définie sur ]-1;+inf[ par f(x) = ( )

1) Déterminer les limites de f en -1 et en +inf
J'ai trouvé que la limite de f(x) lorsque x tend vers -1 est -1/8 (je sais pas trop comment rédiger avec le clavier.)
et la limite de f(x) lorsque x tend vers +inf est +inf (j'en suis pas sûre, j'ai utiliser la règle du plus haut degrés)
2) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
Je bloque totalement sur cette question du coup j'ai pas encore vu le reste...
3) Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 0.
b) Existe-t-il des points de Cf pour lesquels la tangente à la courbe passe par l'origine du repère. Si oui préciser lesquels et une équation de cette tangente

Écrire un algorithme qui a partir d'un entier naturel n non nul saisi au clavier calcule et affiche factorielle n, c'est à dire n (n!=1*2*3*...*(n-1)*n)
Écrire un algorithme qui affiche le premier entier n tel que n! soit supérieur à 1 milliard.

Merci à celui où celle qui me donnera un coup de main
xoxo

[homeya]

Bonsoir,

J'ai mis l’étude de la fonction ici: http://www.lovemaths.fr/etudes/lovemaths-13.pdf. Les limites ne sont pas celles que tu trouves. Vois-tu pourquoi ?

Cordialement.

[Cameliaa.rose-xO]

Bonsoir,

J'ai mis l’étude de la fonction ici: http://www.lovemaths.fr/etudes/lovemaths-13.pdf. Les limites ne sont pas celles que tu trouves. Vois-tu pourquoi ?

Cordialement.

Alors là non :S
Déjà comment fais-tu pour trouver cette derivée je ne trouve pas du tout ça :/
Et pour les limites comment trouves-t-on ces valeurs?0_o
Merci de m'aider:)

[homeya]

En fait, ce n'est pas moi qui ait trouvé les limites et la dérivée mais le programme qui se trouve sur le site :we: Mais voici comment on peut faire pour retrouver ses résultats.
Déjà pour les limites:
a) en -1, le numérateur de tend vers -1 (logique) et le dénominateur vers 0 par valeurs positives (car x reste supérieur à -1). Donc la fraction tend vers -. Le fait de l’élever au cube ne change pas la limite.
b) en +, c'est effectivement les termes de plus haut degré qu'il faut considérer. Pour , ce sont x et x dont le rapport va tendre vers 1. Étant donné que = 1, la limite de f en + sera 1.
Pour le calcul de la dérivée, on peut utiliser la règle = ce qui nous donne f'(x) = 3. En utilisant ensuite la règle de dérivation de , on aboutit à f'(x) = 3 qui se simplifie en .
Est-ce plus clair ?

[Cameliaa.rose-xO]

En fait, ce n'est pas moi qui ait trouvé les limites et la dérivée mais le programme qui se trouve sur le site :we: Mais voici comment on peut faire pour retrouver ses résultats.
Déjà pour les limites:
a) en -1, le numérateur de tend vers -1 (logique) et le dénominateur vers 0 par valeurs positives (car x reste supérieur à -1). Donc la fraction tend vers -. Le fait de l’élever au cube ne change pas la limite.
b) en +, c'est effectivement les termes de plus haut degré qu'il faut considérer. Pour , ce sont x et x dont le rapport va tendre vers 1. Étant donné que = 1, la limite de f en + sera 1.
Pour le calcul de la dérivée, on peut utiliser la règle = ce qui nous donne f'(x) = 3. En utilisant ensuite la règle de dérivation de , on aboutit à f'(x) = 3 qui se simplifie en .
Est-ce plus clair ?

Ah oui en effet c'est beaucoup plus clair!
Mais j'ai des petits doutes sur certains points, pour la limite en -1, pourquoi ça tend vers -inf et non +inf? est-ce à cause du -1? Je comprend pas trop ce qu'on entend par fraction de -1 / 0?

Sinon pourquoi pour la limite en +inf on justifie par 1^3=1? oO
Juste dire que la limite de x/x est 1 ne suffit pas?

Mercii beaucoup =)

Concernant la suite:
Pour l'équation de la tangente faut-il bien calculer f'(0) et f(0)?
Dans ce cas j'obtiens
y=0(x-0)+0

[Cameliaa.rose-xO]

Mais je comprend pas la question 3b) :/
Il existe des points en effet vu que l'ordonnée à l'origine est nul mais je sais pas comment trouver les points... ni l'équation du coup

[homeya]

La limite en -1 est en effet négative (-) car le numérateur est négatif. La limite de "-1/0" (que l'on écrit normalement jamais sous cette forme car on ne peut diviser par 0) est effectivement -. Pour s'en convaincre, il suffit de calculer -1/0,1 = -10 puis -1/0,01 = -100, -1/0,001 = -1000, etc.: la fraction tend vers - au fur et à mesure que le dénominateur tend vers 0.
Pour la limite en +, la limite de étant 1 mais la fonction étant , il faut encore élever 1 au cube pour avoir la bonne limite (qui reste 1).
L’équation de la tangente est bien y = 0.
Pour la question 3)b), il faut écrire l’équation de la tangente en fonction d'un point d'abscisse a: y = f(a) + f'(a)(x-a) ou encore y = f(a) + xf'(a) -af'(a). La tangente passera par l'origine si f(a) -af'(a) = 0. Dans ce cas, en effet, l’équation de la tangente sera y=f'(a)x, c'est-a-dire de la forme y = ax qui est bien l’équation d'une droite passant par l'origine.
Donc, il faut résoudre l’équation f(a) -af'(a) = 0 d'inconnue a ou encore f(x) -xf'(x) = 0 soit encore si on choisit x pour inconnue. Saurais-tu résoudre cette équation ? Astuce: on peut mettre en facteur ...

[Cameliaa.rose-xO]

La limite en -1 est en effet négative (-) car le numérateur est négatif. La limite de "-1/0" (que l'on écrit normalement jamais sous cette forme car on ne peut diviser par 0) est effectivement -. Pour s'en convaincre, il suffit de calculer -1/0,1 = -10 puis -1/0,01 = -100, -1/0,001 = -1000, etc.: la fraction tend vers - au fur et à mesure que le dénominateur tend vers 0.
Pour la limite en +, la limite de étant 1 mais la fonction étant , il faut encore élever 1 au cube pour avoir la bonne limite (qui reste 1).
L’équation de la tangente est bien y = 0.
Pour la question 3)b), il faut écrire l’équation de la tangente en fonction d'un point d'abscisse a: y = f(a) + f'(a)(x-a) ou encore y = f(a) + xf'(a) -af'(a). La tangente passera par l'origine si f(a) -af'(a) = 0. Dans ce cas, en effet, l’équation de la tangente sera y=f'(a)x, c'est-a-dire de la forme y = ax qui est bien l’équation d'une droite passant par l'origine.
Donc, il faut résoudre l’équation f(a) -af'(a) = 0 d'inconnue a ou encore f(x) -xf'(x) = 0 soit encore si on choisit x pour inconnue. Saurais-tu résoudre cette équation ? Astuce: on peut mettre en facteur ...

Ah d'accord je comprend mieux le début merci (:
Pour la 3b) si on met en facteur ça donne

(enfin la j'ai mis x en facteur on peut?)

[homeya]

Oui, c'est presque ça (il manque un carré): .
Et on peut pousser la factorisation plus loin en mettant en facteur:

=
=
=
=
Il faut donc résoudre = 0 ...

[zeus96]

bonjour homeya je suis en 1ère et j'ai quasi le meme exercice.
pourriez-vous m'éclairer sur votre démarche concernant la question 3b

pourquoi faut-il résoudre l'équation f(a) -af'(a) = 0 ? Pourquoi ce n'est pas f'(a)(x-a)+f(a)=0 ?

est-ce juste si l'on met : la tangente passe par l'origine s'il elle passe par le point A(0;0)
ainsi, on détermine l'équation y= f'(0) (x-0) + f(0) et y=0

[homeya]

En fait, on cherche une tangente qui passe par l'origine, c'est-à-dire une droite dont l’équation est de la forme y = ax donc dont le terme constant b (de y = ax + b) doit être égal à 0.
L’équation d'une tangente au point x0 est de manière générale: y= f'(x0)(x-x0)+f(x0). En développant, cela donne y = f'(x0)x - x0f'(x0) + f(x0). Le terme constant (donc qui ne dépend pas de x) est ici x0f'(x0) + f(x0) et il faut qu'il soit nul donc: x0f'(x0) + f(x0) = 0 ou encore si l'on remplace x0 par x xf'(x) + f(x) = 0.

Écrire "la tangente passe par l'origine s'il elle passe par le point A(0;0) ainsi, on détermine l'équation y= f'(0) (x-0) + f(0) et y=0" est juste mais cela ne donne qu'une seule tangente qui passe par l'origine (et il s'agit en plus de la tangente en O qui passe forcément par l'origine). On pourrait très bien imaginer que la tangente au point d'abscisse x = 2 passe aussi par l'origine (et c'est le cas dans cet exercice) ce qui fait deux tangentes au total passant par l'origine.

[zeus96]

Merci pour ces explications claires.
en suivant votre raisonnement je trouve bien x=0 ou x=2.

[Cameliaa.rose-xO]

Oui, c'est presque ça (il manque un carré): .
Et on peut pousser la factorisation plus loin en mettant en facteur:

=
=
=
=
Il faut donc résoudre = 0 ...

Merci beaucoup pour l'aide!
Mais je comprend pas trop comment passer de l'étape 2 à l'étape 3 :S
=
=

[homeya]

Il y a effectivement une coquille pour x-1 qui devrait être x+1:

=
=
=
Bien vu !

[Cameliaa.rose-xO]

Il y a effectivement une coquille pour x-1 qui devrait être x+1:

=
=
=
Bien vu !

D'accourd (:
Mais je suis un peu perdu pour la suite de l'équation =0

ça va si je me débarrasse du dénominateur (x+1)^4 en multipliant de chaque côté où non? :s

[homeya]

Oui tout à fait, on peut multiplier les deux membres par (x+1)^4. Ensuite, il ne reste plus que (x-2)x^3 = 0 dont les deux solutions sont 0 et 2. Cela se traduit par le fait qu'il y a deux tangentes à la courbe qui passent par l'origine. La première est la tangente au point d'abscisse 0 ce qui est logique puisqu'elle passe par le point O ! La seconde est la tangente au point d'abscisse 2. Cette tangente a pour équation: y = f(2) + (x-2)f'(2) = 4x/27 si je ne me suis pas trompé (je te laisse le soin de détailler les calculs).

[Cameliaa.rose-xO]

Oui tout à fait, on peut multiplier les deux membres par (x+1)^4. Ensuite, il ne reste plus que (x-2)x^3 = 0 dont les deux solutions sont 0 et 2. Cela se traduit par le fait qu'il y a deux tangentes à la courbe qui passent par l'origine. La première est la tangente au point d'abscisse 0 ce qui est logique puisqu'elle passe par le point O ! La seconde est la tangente au point d'abscisse 2. Cette tangente a pour équation: y = f(2) + (x-2)f'(2) = 4x/27 si je ne me suis pas trompé (je te laisse le soin de détailler les calculs).

D'accord !:) mais je trouve y= 8x/ 27 - 12/27 ? O_o

[homeya]

Voici le détail des calculs:
y = f(2) + (x-2)f'(2)
= (2/3)^3 + 3*(2)^2/(2+1)^4*(x-2)
= 8/27 + 12/81*(x-2)
= 8/27 + 4/27*(x-2)
= 8/27 + 4/27*x - 8/27
= 4x/27

[Cameliaa.rose-xO]

Voici le détail des calculs:
y = f(2) + (x-2)f'(2)
= (2/3)^3 + 3*(2)^2/(2+1)^4*(x-2)
= 8/27 + 12/81*(x-2)
= 8/27 + 4/27*(x-2)
= 8/27 + 4/27*x - 8/27
= 4x/27

Ah bah oui bien sur--'
Merci!
Je me met à l'algo maintenant =)

[Cameliaa.rose-xO]

Me revoilà =S
Je comprend pas ces algo, est-ce que je pourrai avoir quelques explications? :/