Etude d'une fonction homographique

[Odessa]

Bonjour,

Voila mon problème : j'ai un DM à faire sur l'étude d'une fonction homographique, mais je n'y arrive pas du tout, même en m'aidant avec mes cours de cette année et de l'année dernière. Est ce qu'il vous serait possible de m'aider, et de me donner les méthodes pour résoudre les questions ?
Voici le DM :

Soit f la fonction définie par f(x) = (2x-2)/(x+1) .
1. Déterminer l'ensemble de définition Df de la fonction f.
2. Vérifier que pour tout x appartenant à Df , f(x) = 2-(4)/(x+1) , puis donner l'enchainement permettant de passer de x à f(x).
3. Déterminer les variations de f sur ]-1;+;)[ puis sur ]-;);-1[,
En déduire le tableau de variations de f sur Df .
4. Résoudre l'équation f(x) = 0 .
En déduire le signe de f(x) lorsque x appartient à ]-1;+;)[ .
5. Démontrer que pour tout x appartenant à ]-;);-1[ , f(x) > 2 .
En déduire le tableau de signes de f(x) lorsque x appartient à Df .

Je pense avoir trouvé la question 1, mais je ne suis pas sûre :
1. Je cherche x tel que x+1 = 0
-1+1 =0
x= -1
donc Df = ]-;);-1[U]-1;+;)[

Merci beaucoup de votre aide.
Odessa

[Luc]

Salut,

1. Je cherche x tel que x+1 = 0
-1+1 =0
x= -1
donc Df = ]-;);-1[U]-1;+;)[

Très bien.

2. Vérifier que pour tout x appartenant à Df , f(x) = 2-(4)/(x+1) , puis donner l'enchainement permettant de passer de x à f(x).

Pour la première partie de la question, as-tu essaye de mettre le membre de droite au même dénominateur?
La deuxième partie de la question de demande d'exprimer x en fonction de f(x), c'est-a-dire "d'inverser" l’égalité f(x) = 2-(4)/(x+1).

3. Déterminer les variations de f sur ]-1;+;)[ puis sur ]-;);-1[,
En déduire le tableau de variations de f sur Df .

Déjà, l’énoncé te permet de voir que tu as bon a la question 1!
J'imagine que tu n'a pas encore vu les fonctions dérivées. Par contre, tu dois connaitre le sens de variation de la fonction x->1/(x+1) (un dessin peut t'aider)

4. Résoudre l'équation f(x) = 0 .

Tu devrais savoir le faire sans trop de problème

En déduire le signe de f(x) lorsque x appartient à ]-1;+;)[ .

Si tu connais le sens de variations de f, et que tu sais quand la courbe de f coupe l'axe des abscisses, tu devrais pouvoir en déduire le signe de f(x) sans trop de problème.

5. Démontrer que pour tout x appartenant à ]-;);-1[ , f(x) > 2 .

Que peux-tu dire du signe de f(x)- 2, c'est-a-dire de -(4)/(x+1)?

En déduire le tableau de signes de f(x) lorsque x appartient à Df .

Tu as tout ce qu'il faut dans les questions précédentes.

Bonne recherche!