Etude d'une fonction. Besoin de verification.

[Tomitoot]

Bonjour,
J'aimerai votre avis quant a la résolution de cet Exercice.
J'aimerai aussi savoir si mes réponses sont correctes ou erronées.
Merci d'avance.


Dans un repère orthonormé, on désigne par P la parabole d'équation y=x²
A est le point de coordonnées (0;1) et M le point de P d'abscisse x.

1) Montrer que l'on a l'égalité AM²=x^4-x²+1

2) On appelle f la fonction défini par l'égalité : f(x)=x^4-x²+1 Étudier les variations de f sur R.

3) Déterminer la ou les positions de M pour lesquelles AM est minimal et préciser cette valeur minimale.


Mes réponses sont les suivantes.

1) On veut montrer que AM²=x^4-x²+1, pour celà on fait:
AM²= (xM-XA)² + (yM-yA)²
AM²= (x-0)² + (x²-1)²
AM²= x^4-x²+1

l'égalité est donc vérifiée

2) f(x) = x^4-x²+1 qui est définie sur R

On veut connaitre ses varitations sur R, pour cela nous allons étudier le signe de sa dérivée.
Soit: f'(x) = 4x^3 -2x+0
Cette fonction est définie sur R

(désolé je n'arrive pas a vous mettre mon tableau) mais je montre que la dérivée de f (f') est négative sur ]-infini;0] et positive sur [0; +infinie[
on peut donc en déduire que la fonction f est décroissante sur ] - inifini ;0] et croissante sur [0 ; + inifini[

3)On a f(x)=x^4-x²+1
On prend une inconnue auxilliaire X=x²
On obtient:
f(X)=X²-X+1
f(X)=X(X-1)+1=0
soit X=0 ou X-1=0 X=1
or on a X=x²
donc x²=0 et x²=1
donc x=0 et x=1 et x=-1 (car (-1)²=1 et (1)²=1)
donc les positions de M pour lesquelles AM est minimale sont les points d'abscisses:
M(0;0) M(1;1) et M(-1;1)

[XENSECP]

Si tu avais fait un tableau de signes, la question 2 serait bonne ;)

[Tomitoot]

J'ai fais un tableau mais je n'arrive pas a le mettre ici :triste:
sinon le reste est-il correct ?

[XENSECP]

Ta dérivée c'est :

donc fait un tableau de signe et corrige tes variations

[Tomitoot]

exacte,
je trouve pour la dérivée
2x(x²-1)
donc x=0 ou x²=1
d'où x=0 et x=1 et x=-1 car (1)²=1 et (-1)²=1

donc la fonction est décroissante sur ]-infini;-1] ( car la dérivée est de signe négatif) constante sur [-1;1] (car la dérivée est égal a 0 sur cet intervalle) et croissante sur [1;+infini[ (car la dérivée est de signe positif)
c'est cela ?

donc la question 3 est correcte également non ?

[Anonyme]

Mes variations obtenues sont différentes:
Décroissant sur ]-l'infini; -1]U[0;1]
Croissant sur [-1; 0]U[1;+l'infini[

Je pense ne pas mettre trompée. :mur:

[Tomitoot]

ha oui en effet ce n'est pas constant chez moi non plus lol j'avais mal réglé la calculette :D