Etude d'une fonction auxiliaire

[Gmma]

Bonjour

Soit g la fonction définie sur ]0;+ infini[ par : g(x)=x lnx -x +1 et C sa représentation graphique dans le repère (0;, ).

1) Etudier les limites de g en 0 et en + infini.
2) Etudier les variations de g. En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
3) On note C' la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans le repère (0;, ).
Déterminer les points d'intersection des 2 courbes et leurs positions relatives.

J'ai fait:

1) lim de g en 0= 1. (car limde xlnx en 0=0).
lim de g en + infini =?
2) g'(x)=ln x.
g(x) est positif sur ]0;+ infini[.

Pourriez vous me dire si cela est juste et m'aider pour la suite s'il vous plaît?
Merci. :happy2:

[anima]

Bonjour

Soit g la fonction définie sur ]0;+ infini[ par : g(x)=x lnx -x +1 et C sa représentation graphique dans le repère (0;, ).

1) Etudier les limites de g en 0 et en + infini.
2) Etudier les variations de g. En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
3) On note C' la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans le repère (0;, ).
Déterminer les points d'intersection des 2 courbes et leurs positions relatives.

J'ai fait:

1) lim de g en 0= 1. (car limde xlnx en 0=0).
lim de g en + infini =?
2) g'(x)=ln x.
g(x) est positif sur ]0;+ infini[.

Pourriez vous me dire si cela est juste et m'aider pour la suite s'il vous plaît?
Merci. :happy2:

g(x)=x lnx -x +1
en +infini. x est dominant
x(lnx - 1 + 1/x)
la parenthese tend vers +infini
Le tout tend donc vers +infini
:we:

[Gmma]

Merci.

Pour la dernière question:
je crois qu'il faut commencer par résoudra g(x)=ln x.
Je trouve x=1 et x= e^1=e.
Mais après?

[annick]

Bonjour,
Pour le moment je suis tout à fait d'accord avec tes résultats.
Pour continuer, tu dois donc trouver le signe de g(x)-Lnx, c'est à dire le signe de (x-1)(Lnx-1). Tes deux valeurs qui annulent sont donc bien 1 et e.
Il te suffit maintenant de faire un tableau de signes; Quand tu trouvera que ce produit est >0 alors g(x)>Lnx donc ta courbe C au dessus de la courbe du Ln ...
Bon courage pour continuer, mais tu tiens le bon bout

[Gmma]

Merci beaucoup pour votre aide. :happy2: