Etude d'une fonction auxiliaire

[marocain94]

bonjour je commence cette exercice et je sollicite votre aide merci,

Soit g la fonction définie sur ]0,+;)[ par : g(x) = (ln x) /(x) + e
On note Cg la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
1)determiner les limites de g en 0 et en +;) , que peut-on en déduire pour Cg?
2)determiner, à l'aide de la dérivée g' , le sens de variation de g
3) l'une des 3 courbes suivantes est la courbe Cg ,indiquer le numéro correspondant à Cg, en précisant les raisons de votre choix.
4)calculer g(1/e) , en deduire pour tout x appartenant à ]0,+;)[ le signe de g(x)

[marocain94]

1) g(x)= (ln x )/ (x) +e j'ai fait limite de (ln x )/ (x) lorsque x tend vers 0 = -;)
et limite de (ln x )/ (x) lorsque x tend vers +;) = 0 , donc (ln x )/ (x) + e lorsque x tend vers 0 = -;) ; et (ln x )/ (x) + e lorsque x tend vers +;) = e
j'en deduit une asymptote horizontale d'equation y=e

2) g'(x) = 1/(x+1) car ln(x)=1/x , la dérivée de x est 1 , et e est une constante

3) je pense que c'est la figure 11 car on voit bien la fonction logarithme partant de -;)
et aussi une asymptote horizontale d'equation y=e

4) g(1/e) = (ln(1/e)) / (1/e) + e = 0 donc x est négatif entre ]0,(1/e)[ puis positif entre ]1/e,+;)[

[fahr451]

bonjour

1) correct
2) g ' est fausse. on doit dériver un quotient.

[marocain94]

(u/v)' = u'.v-u.v' ; u=lnx u'=1/2 v=x v'=1
on a : g'(x) = x/x - lnx = 1-lnx
donc g'(x)= 1-lnx ( e est une constante on l'enleve)

[fahr451]

hum

(u/v) ' = ( u'v - uv') / v^2 ...

[marocain94]

a oui zut je suis aller trop vite jé oublier v² donc g'(x) = (1-lnx )/ x²

[marocain94]

les autres questions son justes?

[fahr451]

non la courbe c 'est 13

g croit jusqu'à x = e puis décroit .

[marocain94]

je ne comprend pas pourquoi c'est la 13 , sa veu dire qu'il nya pas dasymptote horizontale en y=e

[fahr451]

mais si, mais le graphique ne montre de x assez grand la courbe va redescendre vers l'asymptote plus loin.

[marocain94]

a ok donc c'est la fig-13 car g croit jusqu'à x = e puis décroit
la question 4) est-elle juste?

[fahr451]

4) tu as le signe sur ]0,1/e[ et sur ]1/e,e[ (g croit)
reste le signe sur ]e,+infini[ g décroit mais comme lim g = e g est positive aussi sur cet intervalle.

[marocain94]

a ok merci pour ton aide