Etude de suites

[Cameliaa.rose-xO]

Bonjour à tous,
j'ai un devoir à faire et j'aimerai me certifier d'avoir tout compris à la fin, seulement je l'ai commencé et je doute sur quelques notions, bon bref voilà l’énoncé : (j'en suis encore qu'au début)

On considère la fonction f définie sur I = [O;1] par f(x) =
La suite U est définie par =0 et pour tout entier naturel n,
On se propose d'étudier la suite u par deux méthodes différentes.

1) Étudier les variations de f et en déduire que, pour tout réel x élément de I, f(x) appartient à I.

Voilà mes résultats pour la 1) :

Étude du sens de variation de f. ( calcul de la dérivée + signe de celle-ci )

On résout f'(x) ... je trouve f'(x)= avec la formule de calcule

Par la suite je voudrais résoudre

mais là je bloque, dois-je dire qu'elle est croissante mais sur quel intervalle ? [?,; +inf[ Comment résoudre l'inéquation?


2)Montrer que, pour tout entier n, Un appartient à I.

3) Première méthode :

a) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.
b) En utilisant le graphique précédent, placer les points d'ordonnné nulle et d'abscisses respectives U_0 U_1 U_2 U_3.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation et la convergence de la suite u ?
c) Établir la relation et en déduire le sens de variation de la suite U .
d) Démontrer que la suite U est convergente et déterminer sa limite.

4 )Deuxième méthode

On considère la suite V définie sur N par :

a) Prouver que la suite V est une suite géométrique de raison 2/5.
b) Calculer et exprimer en fonction de n.
c) Exprimer en fonction de puis en fonction de n.
d)En déduire la convergence de la suite u et la valeur de sa limite.

Merci de m'avoir lu ainsi que du temps que vous m'accordez

[Kikoo <3 Bieber]

Yop,
Pour la première question, la dérivée est juste mais j'aimerais que tu ne développes pas le dénominateur. Laisse-le sous la forme (x+4)².
Quand tu étudies le signe de , n'est-ce pas évident que cette fonction est toujours positive ?
Qu'en déduis-tu ?
Calcule les valeurs extrèmes de f dans I (c'est-à-dire f(0) et f(1)) puis conclus.

[Cameliaa.rose-xO]

Yop,
Pour la première question, la dérivée est juste mais j'aimerais que tu ne développes pas le dénominateur. Laisse-le sous la forme (x+4)².
Quand tu étudies le signe de , n'est-ce pas évident que cette fonction est toujours positive ?
Qu'en déduis-tu ?
Calcule les valeurs extrèmes de f dans I (c'est-à-dire f(0) et f(1)) puis conclus.

Merci de m'avoir répondu!!
Alors d'accord, mais je comprend pas très bien, je calcule f(0) et f(1)après avoir fait un tableau de variation où pas la peine ? Et une autre question : dois-je remplacer 0 puis 1 dans f'(x) où dans la formule de base? f(x)? Si non j'obtiens f(0) = 1/2 et f(1) = 1
Donc f(x) est croissante sur [1/2;1] donc sur I alors f(x) appartient à I ?

[Kikoo <3 Bieber]

Je t'ai demandé ce que tu déduisais du signe de la dérivée. Cette constatation est primordiale avant d'aborder la suite de la question.

[Cameliaa.rose-xO]

Je t'ai demandé ce que tu déduisais du signe de la dérivée. Cette constatation est primordiale avant d'aborder la suite de la question.

Le signe de la dérivée est positif? vu qu'un carré est toujours positif , on le voit pour

[Kikoo <3 Bieber]

Ouais, et la dérivée est même strictement positive sur [0;1] !
En effet, le dénominateur ne s'annule qu'en -4 et on s'en fout parce qu'on travaille dans [0;1]. 10 est une constante positive qui ne s'annule jamais.
Tu en déduis que f est...

[Cameliaa.rose-xO]

Ouais, et la dérivée est même strictement positive sur [0;1] !
En effet, le dénominateur ne s'annule qu'en -4 et on s'en fout parce qu'on travaille dans [0;1]. 10 est une constante positive qui ne s'annule jamais.
Tu en déduis que f est...

f est positif si la dérivée est positive c'est ça?
Pas la peine de faire un tableau de variation ?

[Kikoo <3 Bieber]

Non non non ! Si la dérivée de f est strictement positive, que peux-tu dire des variations de f ?

[Cameliaa.rose-xO]

Non non non ! Si la dérivée de f est strictement positive, que peux-tu dire des variations de f ?

F est croissante alors sur [1/2; 1 ] ?

[Kikoo <3 Bieber]

Strictement même, car sa dérivée ne s'annule jamais sur [0;1]
On utilise donc le théorème de la bijection sur [0;1] avec les hypothèses de monotonie et de continuité de f sur cet intervalle. On en conclut que comme f(0)=0 et f(1)=1, notre fonction prend toutes les valeurs entre 0 et 1 sur le fermé [0;1]

Edit : Pourquoi [1/2 ; 1] ??

Edit 2 : Exact ;) Tu as raison : La fonction f prend toutes les valeurs entre 1/2 et 1 sur l'intervalle [0;1] ! J'avais mal lu !

[Cameliaa.rose-xO]

Strictement même, car sa dérivée ne s'annule jamais sur [0;1]
On utilise donc le théorème de la bijection sur [0;1] avec les hypothèses de monotonie et de continuité de f sur cet intervalle. On en conclut que comme f(0)=0 et f(1)=1, notre fonction prend toutes les valeurs entre 0 et 1 sur le fermé [0;1]

Edit : Pourquoi [1/2 ; 1] ??

Mais f(0) n'est pas égale à 0 si? j'ai trouvé 1/2 moi :S

[Kikoo <3 Bieber]

Tu as raison, j'ai réédité mon message ^^

Voilà un exemple de rédaction :
f' est strictement positive sur [0;1] donc f y est strictement croissante.
On utilise donc le théorème de la bijection sur [0;1] avec les hypothèses de monotonie et de continuité de f sur cet intervalle. On en conclut que comme f(0)=1/2 et f(1)=1, notre fonction prend toutes les valeurs entre 1/2 et 1 sur le fermé [0;1].
En conclusion, f(x) appartient à I=[0;1] sur [0;1]

[Cameliaa.rose-xO]

Tu as raison, j'ai réédité mon message ^^

Voilà un exemple de rédaction :
f' est strictement positive sur [0;1] donc f y est strictement croissante.
On utilise donc le théorème de la bijection sur [0;1] avec les hypothèses de monotonie et de continuité de f sur cet intervalle. On en conclut que comme f(0)=1/2 et f(1)=1, notre fonction prend toutes les valeurs entre 1/2 et 1 sur le fermé [0;1].
En conclusion, f(x) appartient à I=[0;1] sur [0;1]

D'accord! merci beaucoup donc pas la peine de faire un tableau de variation? (je sais pas trop quand on doit en faire un et quand on est pas obliger)

Edit : On a pas vu le théorème de la bijection :S

[Kikoo <3 Bieber]

Tu peux bien entendu en faire un, mais je n'en vois pas l'utilité ici, car la fonction est strictement croissante.
Il s'agit plus d'un outil qu'autre chose, et il te servira d'avantage à étudier des variations plus complexes dans l'optique de dessiner un graphe.
Bof, fais-en un car je ne connais pas les exigences de ton/ta prof !

Edit : ok, utilise juste l'hypothèse de monotonie de la fonction sur l'intervalle [0;1] alors, bien que cette hypothèse soit moins forte que ledit théorème. Tu devrais d'ailleurs le voir dans pas longtemps.

[Cameliaa.rose-xO]

Tu peux bien entendu en faire un, mais je n'en vois pas l'utilité ici, car la fonction est strictement croissante.
Il s'agit plus d'un outil qu'autre chose, et il te servira d'avantage à étudier des variations plus complexes dans l'optique de dessiner un graphe.
Bof, fais-en un car je ne connais pas les exigences de ton/ta prof !

Edit : ok, utilise juste l'hypothèse de monotonie de la fonction sur l'intervalle [0;1] alors, bien que cette hypothèse soit moins forte que ledit théorème. Tu devrais d'ailleurs le voir dans pas longtemps.

D'accord très bien merci.
J'ai l'impression que la 2e question revient un peu à dire la même chose non? Sauf qu'à la place de x on remplace n vu que pour tout entier naturel, n , soit 3n+2 / n+4
2)Montrer que, pour tout entier n, Un appartient à I.

[Kikoo <3 Bieber]

T'as déjà vu le raisonnement par récurrence ?

[Cameliaa.rose-xO]

T'as déjà vu le raisonnement par récurrence ?

Oui je l'ai déjà vu

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai l'impression que la 2e question revient un peu à dire la même chose non? Sauf qu'à la place de x on remplace n vu que pour tout entier naturel, n , soit 3n+2 / n+4

Pas d'accord, nous avons
C'est ce que l'on appelle "suite définie par récurrence".

[Kikoo <3 Bieber]

Oui je l'ai déjà vu

Ok c'est parfait : Montre que pour tout n entier positif,
Et montre aussi que pour tout n entier positif.

[Cameliaa.rose-xO]

Ok c'est parfait : Montre que pour tout n entier positif,
Et montre aussi que pour tout n entier positif.

Oula euh j'ai pas tout compris là xS
Je remplace n par 0 vu que Un=0 ?