Etude de signe d'un polynôme du quatrième degré.

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vinuxx
Messages: 2
Enregistré le: 04 Sep 2010, 20:10

Etude de signe d'un polynôme du quatrième degré.

par vinuxx » 19 Sep 2010, 16:12

Salut à tous !
Je dois montrer que pour tout x de R, x^4 - x^3 - x + 1 >= 0.
Il y a une racine unique et évidente qui est 1, et à partir de là je suis tenté d'affirmer que le coefficient de x^4 est 1 et que donc f(x) est de signe positif pour tout x de R.
Mais est ce que cette loi du coefficient du monôme de plus haut degré existe ? Et comment prouver qu'aucune autre racine n'existe ?

Je précise qu'en théorie je n'ai jamais appris à résoudre ce type d'équation, c'est pourquoi il y a surement une façon tiers d'y arriver, je cherche... et votre aide pourrait m'être précieuse.

Merci d'avance



Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 19 Sep 2010, 16:31

Salut,

x^4-x^3=x^3(x-1) et -x+1=-(x-1) donc ton polynôme se factorise en (x-1)(x^3-1)

puis x^3-1=(x-1)(x²+x+1) donc ton polynôme s'écrit (x-1)²(x²+x+1).

(x-1)² est clairement positif, et x²+x+1... je te laisse voir !

 

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