Etude d'un lieu géométrique (fonction)

[Nesta]

Bonjour, voici l'exercice qui me pose problème:

Soit ABCD un rectangle. Pour tout point M de la droite (AB), distinct de B, la droite (CM) coupe la droite (AD) en N. on appelle I le milieu du segment [MN].

L'objet du problème est d'étudier le lieu géométrique C du point I, cad l'ensemble des positions de I lorsque M décrit la droite (AB).

On considère le repère orthogonal (O;AB;AD) et on appelle t l'abscisse du point M.

1) déterminer les coordonnées du point I en fonction de t.

2)En déduire que C est la courbe d'équation :
y= x/(2x-1)

3) Soit f la fonction définie sur R \ {1/2} par:
f(x)= x/(2x-1)
a) Déterminer deux réels a et b tels que pour tout réel x différent de 1/2 f(x)= a + b/2x-1
b) En déduire les variations de la fonction f sur chacun des intervall²es ]- ; 1/2[ et ]1/2; +[
c) tracer la courbe C et démontrer qu'elle possède un centre de symètrie que l'on précisera.

___________

Alors voici ce que j'ai fait:

1) On sait que M (t; 0) et N (0; yn)
I milieu de [MN] donc I ( t/2; yn/2)

2)
Je n'y arrive pas.

3)a) (2ax-a+b)/(2x-) on trouve donc 2a= 1 et -a+b=0 donc a=b=1/2

b) Je ne trouve pas non plus.

c)

Merci de bien vouloir m'aider

[Nesta]

je ne pense pas que le 1 soit exact mais ...

[Nesta]

up.. est ce qu'il y a quelqu'un qui pourrait m'aider :hein:

[annick]

Bonsoir,
Tout d'abord je crois qu'il y a une petite erreur dans ton énoncé : il s'agit du repère (A;AB;AD) et non (O;AB;AD)

Ensuite pour M, je suis d'accord avec toi M(t,0)
Pour N, je suis d'accord, n(0,yN), mais on peut calculer yN en fonction de t, en utilisant par exemple Thalès dans les triangles AMN et BMC
Ceci te permettra de calculer les coordonnées de I en fonction de t

[Nesta]

Oui, désolée il s'agit en effet de (A, AB, AD)

Dans les triangles AMN et BMC d'après le th. de Thalès:
xi/t = NI/NM= 1/2
xi= t/2

AN/BC = MA/MB
Donc yi = t / 1-t

c'est ça?

[annick]

J'ai un peu de mal avec le I que tu as introduit d'on ne sait où!
On parlait de N et effectivement

MB/MA=MC/MN=BC/AN

soit AN=(BC.MA)/MB=(1xt)/(t-1)=t/(t-1)

Donc N(0,t/(t-1))
M(t,0)

I(t/2, t/(2(t-1)))

[Nesta]

D'accord merci.:happy2: .
Quant à la question 2, j'ai entendu dire qu'il fallait utiliser des vecteurs colinéaires. Si c'est vrai je ne comprends pas pourquoi :help:

[annick]

Ben non, pour la question 2), tu as

I(t/2; t/(2(t-1)))

Donc on va chercher une relation entre y et x :

x=t/2 soit t=2x

y=(t/2) (1/t-1)
On remplace t par 2x

y=x(1/2x-1)=x/(2x-1) c'est la relation que l'on te demande de trouver.

[Nesta]

Ok, merci!

3)a) Je pense que a=b=1/2

Mais je ne vois pas en quoi ça nous aide à déterminer les variations de f sur chacun des intervalles ]-infini; 1/2[ et ]1/2 ; +infini[

[annick]

ok pour a=b=1/2

donc ta fonction est

f(x)=1/2 +1/(2(2x-1))

1er cas : mCalcule f(m)-f(p) et vois de quel signe c'est.
Si f(m)-f(p)>0 alors f(m)>f(p) et ta fonction est décroissante
Si f(m)-f(p)<0 alors f(m)
2ème cas : 1/2

[Nesta]

Dans les 2 cas je trouve f(m) > f(p) donc f est croissante sur les 2 intervalles donnés. Est ce exact?

Quand à la question 3, je pense partir d'une conjecture et calculer f(a+h) et f(a-h)

:happy2:

[annick]

c'est exact que f(m)>f(p) donc comme m