Etude de fonctions composées

[Timothé Lefebvre]

Bonjour à tous,

je vous propose deux petites questions rencontrées dans un exo et qui me paraissent sympas à démontrer au lycée (ce sont des classiques).

Question 1 :

La composée de deux fonctions affines est-elle une fonction affine ? A justifier bien entendu.


Question 2 :

De même, est-ce qu'une fonction affine est la composée de deux fonctions affines ?
Pour cette question on évitera le raisonnement par l'absurde.


Bonne fin de journée et à tout à l'heure pour ceux qui viennent :lol4:

Tim

[Florélianne]

Bonjour,
J'ignore si ton sujet a eu du succès...
1° si : f(x) = ax + b ; g(x) = cx + d
gof(x) = c(ax+b)+d= (ac) x +( bc+d)
la composée de deux fonctions affines est une fonction affine
2° on peut trouver une infinité de fonctions affines dont la composée soit une fonction affine donnée : on a un système de deux équations à 4 inconnues....
m=ac
k=bc+d pour chaque valeur de c non nul on a une infinité de solutions pour k ...
ex : c=1 a=m et b+d=k ou d= k-b
donc une infinité de possibilités pour le choix de c puis de b...
En toute amitié et estime

[Timothé Lefebvre]

Bonjour Florélianne

Je pose la seconde question différement : posons une fonction que l'on compose par elle même ; la fonction composée h°h donne la fonction .

Si la fontion est affine, peut-on dire que l'est aussi dans tous les cas ?

[Florélianne]

Bonjour Timothé,
non ! la fonction h(x) = 3/x ( pour x non nul, 0 si x= 0)
hoh(x) = 3/(3/x) = 3(x/3) = x pour x non nul
et 0 pour x = 0
hoh est affine pas h (bien sûr h n'est pas continue...)
mais il faut mieux définir les hypothèses... parce que le contre exemple m'étant apparu tout de suite, je ne suis pas allée plus loin! En classe on apprend à trouver très vite des contre-exemples... les élèves n'attendent pas...
En toute amitié et estime.

[Timothé Lefebvre]

Oui ! Il s'agit en fait de trouver une explication générale (sans passer par l'absurde de préférence) concernant la réciproque de la propriété démontrée en 1.

[Florélianne]

Bonjour,
J'ai eu une journée très occupée . J'ai un grand nombre de jeunes que j'aide sans passer par le forum. Ceux que j'aide régulièrement m'ont été adressés par des relations, des anciens, j'aide depuis des années (aim quand aol existait). Rassure-toi ceux du forum, restent, en général fidèles au forum et le seront encore davantage depuis, que, avec tes encouragements, et de la persévérance, j'ai réussi à insérer mes réponses!
J'ai toujours travaillé avec les Word successifs qui me donnaient une façon simple d'insérer des formules... raison pour laquelle latex m'est inconnu... aujourd'hui j'ai le 2007 ... hélas mathématiquement incompatible avec open office... ce qui m'oblige à faire des captures sous peine de voir mon travail dénaturé...
Mais je m'égare...
Pour revenir à ton sujet, j'ai besoin d'hypothèses précises sur h : définie sur IR , continue, dérivable ... etc
mon contre-exemple précédent le montrait. Ma fonction était dérivable sauf en 0 où elle était discontinue...
Quelles conditions doit-on avoir pour h ?
En toute amitié et estime

[Timothé Lefebvre]

Nous poserons une fonction définie sur , continue et dérivable en tout réel de .